Demostrar que existe $2\times 2$ cuadrado en forma de tablero de ajedrez en un $100\times 100$ mesa coloreada en blanco y negro.

Question

"Cada celda de una tabla de 100 × 100 está pintada en blanco o en negro y todas las celdas adyacentes al borde de la mesa son negras. Se sabe que en cada cuadrado de 2 × 2 hay celdas de ambos colores. Demuestra que en la tabla hay 2 × 2 que está coloreado a la manera del tablero de ajedrez".

Fuente del problema

¿Cómo resolver este problema?

Answer 1

Una pista: Palillo $99\times 99$ agujas en esta cuadrícula, cada una en un lugar donde cuatro celdas se encuentran en una esquina. Para cada par de agujas a una distancia de uno, conéctalas con un trozo de cuerda si los dos cuadrados que tocan el borde entre ellos tienen diferentes colores.

Cada aguja con $2$ o $4$ trozos de cuerda atados a ella (¿por qué?). Si una aguja tiene cuatro hilos, los cuatro cuadrados que la rodean se colorean como un tablero de ajedrez. Supongamos, por el contrario, que cada aguja sólo tiene dos cuerdas. ¿Qué aspecto tendría el cuadro resultante? ¿Por qué es imposible?

Una pista más:

Si cada aguja tuviera sólo dos hilos, las agujas se dividirían en "bucles", en los que cada aguja está conectada a la siguiente y a la anterior de forma circular. ¿Cuáles son los posibles tamaños de un bucle?

Por ejemplo, puedes tener un bucle de tamaño cuatro donde las cuatro agujas son los vértices de una celda. ¿Se puede tener un bucle de tamaño $5$ ?

Answer 2

Paso 1: Primero reduzca el problema a una versión más simple, pero proporcional, del problema Consideremos un tablero de 10 x 10 en el que todas las casillas del borde son negras. Imaginemos ahora que pintamos hacia el interior como se muestra en la siguiente figura. Haga clic para ver la imagen

Por lo tanto, un cuadrado (no las esquinas) debe cambiarse al color opuesto (es decir, negro), lo que genera un cuadrado 2x2 coloreado como el tablero de ajedrez cuando todo el tablero está coloreado. Haga clic aquí para ver la imagen

ahora volviendo al problema original debemos calcular cuantos cuadrados quedan cuando terminamos de pintar como bandas.(paso 1). Como el tablero es de 100 x 100, también hay 100 cuadrados diagonales (igual que hay 100 cuadrados diagonales en la cuadrícula de 10 x 10) entonces en el punto muerto del cuadrado no habrá un cuadrado sino un conjunto de 4 cuadrados (ver imagen superior y comparar). Esto se debe a que hay un número par de cuadrados]. Entonces el mismo argumento para el cuadrado de 10 x 10 funciona.

Por lo tanto, debe haber un cuadrado de 2 x 2 pintado como en el tablero de ajedrez.