No es super difícil escribir un modelo para su problema. La realización de la optimización numérica es un poco de un desafío, sin embargo!
La idea básica
Aquí está el enfoque más simple para el problema planteado originalmente no incluida la reflexión.
Dada la lámpara ubicaciones $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$, y $(x_3,y_3)$, junto con un punto de $(x,y,z)$ en la habitación, nos indican la intensidad de la luz en el punto de
$$i_{x_1,y_1,x_2,y_2,x_3,y_3}(x,y,z) = \sum_{k=1}^3 \frac{1}{(x-x_k)^2+(y-y_k)^2+(z-6)^2}.$$
Esto simplemente indica el hecho bien conocido de que la intensidad de la luz de una distancia $d$ a partir de una fuente de luz es proporcional a $1/d^2$. Supongo también que la intensidad es aditivo.
Entonces, dado $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2)$, y $(x_3,y_3)$, definiremos $m(x_1,y_1,x_2,y_2,x_3,y_3)$ a ser el valor mínimo de $i_{x_1,y_1,x_2,y_2,x_3,y_3}(x,y,z)$ sujeto a las restricciones que $0\leq x \leq 25$, $0\leq y \leq 15$, y $0\leq z\leq 10$. (En la reformulada problema, tenemos $z=3.5$. Esto parece reducir la complejidad de una dimensión, pero natural de cálculo para el problema original era que el mínimo ocurriría en el suelo).
Finalmente, maximizar $m(x_1,y_1,x_2,y_2,x_3,y_3)$$0\leq x_k \leq 25$$0\leq y_k \leq 15$.
Reducir el espacio de búsqueda
Por desgracia, los números son bastante difíciles. Primero nos minimizar $i$ como una función de 2 variables para obtener numéricamente una función definida por el que luego podemos maximizar como una función de 6 parámetros. Sería muy bueno si pudiéramos reducir el número de parámetros. Esto puede hacerse suponiendo que la solución tiene algún tipo de simetría. Dada la simetría de la habitación, parece bastante probable que el ideal de configuración que muestra uno de los dos siguientes simetrías:
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Suponiendo que el anterior, tenemos $x_2=12.5$, $x_3=25-x_1$, y $y_3=y_1$$i_{x_1,y_1,x_2,y_2,x_3,y_3}$, con $x_1$, $y_1$ y $y_2$ gratis. Suponiendo que esto último, hemos $x_3=x_1$, $y_2=7.5$, y $y_3=15-y_1$. En cualquier caso, el cálculo de $m$ ahora consiste en la minimización de una calculada numéricamente la función de 3 variables. Ejecución de un Nelder-Mead limitada optimizador en Mathematica toma minuto o así, a diferencia de mi enfoque original que tomó mucho más tiempo.
Debo señalar que yo no tengo ninguna prueba de que la correcta configuración de esta forma - es sólo intuición, originado por el hecho de que mi enfoque inicial producido de una forma muy parecida a la de configuración.
En cualquier caso, la implementación de este plan en Mathematica, me vino con un arreglo del salón que se ve algo así:
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La lámpara lugares son aproximadamente: $(5,4.37)$, $(12.5,11.69)$, y $(20,4.37)$. El uso de la función de la intensidad de arriba, esto produce un mínimo en el centro de la pared frontal de alrededor de $0.0315224$.
La reflexión
No es mucho más difícil de implementar Willie Wong enfoque sugerido para lidiar con la reflexión. El $i$ ecuación se convierte en
$$i_{x_1,y_1,x_2,y_2,x_3,y_3}(x,y,z) = \sum_{j,\ell=-\infty}^{\infty} \sum_{k=1}^3 \frac{a^{|j|+|\ell|}}{(x-(x_{j,k}-25j))^2+(y-(y_{\ell,k}-15\ell))^2+(z-6)^2},$$
donde
$$x_{j,k} = \frac{1}{2} \left(1+(-1)^j\right) x_k+\frac{1}{2}
\left(1-(-1)^j\right) \left(25-x_k\right)$$
y
$$y_{\ell,k} = \frac{1}{2} \left(1+(-1)^{\ell }\right) y_k+\frac{1}{2}
\left(1-(-1)^{\ell }\right) \left(15-y_k\right).$$
Tenga en cuenta que $x_{k,j}$ es simplemente cualquiera de las $x_k$ o su reflejo $25-x_k$, dependiendo de si $j$ es par o impar.
La constante $a$ está entre cero y uno y se llama albedo o el coeficiente de reflexión. Tomé $a=1/2$, aunque no tengo datos reales sobre lo que sería apropiado. Por supuesto, también debemos truncar la suma. En mi código, me permitió $j$ $\ell$ a ejecutar desde la $-3$$3$. He no se considera el reflejo de el piso o el techo. Tal vez el suelo es de moqueta y el techo tiene algunas no reflectante de estuco o alguna de esas.
Teniendo en cuenta todo esto, se me ocurrió la siguiente sala:
![enter image description here]()
Los asteroides
Si usamos un poco la expresión más sencilla para $i$:
$$i_{x_1,y_1,x_2,y_2,x_3,y_3}(x,y,z) = \sum_{j,\ell=-\infty}^{\infty} \sum_{k=1}^3 \frac{a^{|j|+|\ell|}}{(x-(x_k-25j))^2+(y-(y_k-15\ell))^2+(z-6)^2},$$
obtenemos una asteroides estilo, envoltura alrededor de la habitación:
![enter image description here]()
La lámpara de lugares que ahora son aproximadamente: $(1.269,1.756)$, $(12.5,10.76)$, y $(23.73,1.756)$. El uso de la función de la intensidad de arriba, esto produce un mínimo de alrededor de $0.0613712$ en el punto de $(12.5, 2.291)$.
