Composición de la serie de Taylor

Question

Supongamos que tengo funciones suaves $f,g,y_0$ y $y_1$ de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ , de tal manera que $$y_1(x) = y_0(x) - \epsilon g(y_0(x))$$ Entonces considero $$f(y_0(x)) = f(y_1(x) + \epsilon g(y_0(x)))$$ ¿Existe una expresión de forma cerrada para la serie de Taylor en el parámetro pequeño $\epsilon$ en términos de derivados de $f$ y $g$ y sólo la función $y_1$ ?

Los primeros términos son

$$f(y_0) = f(y_1) + \epsilon f'(y_1) g(y_0) + \frac{1}{2}\epsilon^2 f''(y_1)g^2(y_0) +..$$ Dónde interpretamos $f(y_0)$ como $f|_{y_0(x)}$ y tratar $x$ arreglado. Entonces podemos volver a sustituir el $y_0$ en $g(y_0)$ con $$g(y_0) = g(y_1)+ \epsilon g'(y_1)g(y_0) +...$$ dando $$= f(y_1) + \epsilon f'(y_1) [g(y_1) + \epsilon g'(y_1)g(y_0) + ... ]$$ $$+ \frac{1}{2}\epsilon^2 f''(y_1)[g(y_1) + \epsilon g'(y_1)g(y_0) + ... ]^2 +...$$ Continuando con la sustitución de la $y_0$ con $g(y_0)$ así y agrupando los términos se obtiene $$f(y_0) = f(y_1)+ \epsilon [f'g](y_1) + \epsilon^2[f'g'g + \frac{1}{2}f''g^2](y_1) + \epsilon^3[f'g'^2g + \frac{1}{2}f'g''g + \frac{1}{2}f''g'g + \frac{1}{6}f'''g^3](y_1) + O(\epsilon^4)$$ Pero, ¿hay alguna manera de escribir esto como una suma más compacta como $$f(y_0) \sim f(y_1) + g(y_1)\sum_{n=1}^\infty\sum_{m=0}^n \epsilon^n \alpha(n,m)f^{(n)}g^{(n-m)}(y_1)$$ Tengo problemas para identificar el patrón. Sé que también habrá algún producto involucrado.

Editar:

Pensando un poco más puede bastar con poner $f=id$ y considerar $$y_0 = y_1 + \epsilon g(y_0)$$ $$y_0 = y_1 + \epsilon g(y_1 + \epsilon g(y_0))$$ $$y_0 = y_1 + \epsilon g(y_1 + \epsilon g(y_1 + \epsilon g(y_0)))$$ $$y_0 = y_1 + \epsilon g(y_1 + \epsilon g(y_1 + \epsilon g(y_1 + ...)))$$ y de alguna manera utilizar la regla de la cadena $$[f_1\circ f_2 \circ .... \circ f_n]' = \prod_{i=1}^n(f'_{i}\circ f_{i+1}\circ ...\circ f_n)$$

Answer 1

Parece que hay un factor común de εg(d/dy) que se utiliza como función y como multiplicador.

Se está utilizando como función a través de la composición -tomando repetidamente la derivada y multiplicando por g N veces-, y como multiplicando -tomando la derivada N veces y luego multiplicando por g al N.

Cada término εⁿ parece estar formado por la diferencia entre estas dos operaciones. No estoy seguro del factor por el que se escala cada uno antes de tomar la diferencia. (Tomar repetidamente la derivada de cada término y luego multiplicar por εg para obtener el siguiente término está fuera por un factor constante de N y una cantidad adicional de (d^n/dy^n)f*(g^n) escalada por N).