¿Existe alguna relación entre un vector propio de$A$ y el vector propio de$A^T$ con el mismo valor propio?

Question

Deje $A$ ser una matriz cuadrada de más de $\mathbb C$, y deje $A^T$ denotar su transpuesta.

No es difícil ver que $A$ e $A^T$ tienen el mismo conjunto de valores propios, por lo que da $Ax=\lambda x$ para algunos vectores $x\in V$ y autovalor $\lambda\in\mathbb C$, sabemos que siempre debe haber algunos otros $y\in V$ tal que también se $$A^T y=\lambda y.$$

También sabemos que, si $Ax=\lambda x$ e $A^T y=\mu y$ con $\lambda\neq \mu$, a continuación, $\langle y^*,x\rangle=0$, donde $y^*$ denota el vector cuyos elementos son complejas conjugadas de los de $y$, como se desprende de $$\langle y^*,Ax\rangle=\lambda \langle y^*,x\rangle=\mu\langle y^*,x\rangle.$$

El mismo argumento, sin embargo, no proporciona toda la información para el caso de $\mu=\lambda$. Hay relación con la celebración, en general, para tal caso?

Más precisamente, dado $Ax=\lambda x$ e $A^T y=\lambda y$, hay en general la relación entre los $x$ e $y$?

Answer 1

Este es un clásico resultado de que cualquier matriz $A$ es similar a la de su transpuesta.

A continuación, escriba $A^T=PAP^{-1}$, usted tiene que si $A^Tx=\lambda x$, luego $$A(P^{-1}x)=\lambda (P^{-1}x)$$

De modo que $E_\lambda(A^T)=P\cdot E_\lambda(A).$

La matriz de $P$ no siempre es fácil de encontrar, y de hecho el "clásico de resultado" no es fácil demostrar. Esto se puede hacer con una densidad de argumento cuando el campo es, por ejemplo, $\mathbb C$. En un contexto más general, puede utilizar Frobenius de la matriz de reducción a ver.

Pero para que una matriz ortogonal por ejemplo, es fácil ver que los vectores propios son los mismos.