Demostrar que existe un vector% cero $v$tal que$Av=v$.

Question

Necesito demostrar que si $A^t=A^{-1}$, $\det(A)>0$ para una matriz de $A_{3\times3}$ entonces existe un vector $v$ cero tal que $Av=v$.

Traté de tomar un general de la matriz a,

$ \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31}& a_{32} & a_{33} \end{array} \right) $

pero yo no tengo nada, y he intentado utilizar la definición de autovalor $\lambda$ y autovector $v$, $\{v \in V \mid Av=\lambda v\}$, y no me llego nada importante, por lo tanto, cualquier sugerencia es muy valioso, gracias!

Answer 1

Si $v\in\mathbb R^3$, entonces\begin{align}\lVert Av\rVert^2&=\langle Av,Av\rangle\\&=\langle v,A^tAv\rangle\\&=\langle v,v\rangle\text{ (since %#%#%)}\\&=\lVert v\rVert^2\end{align}y, por tanto, $A^t=A^{-1}$. Por otro lado, el polinomio característico de a$\lVert Av\rVert=\lVert v\rVert$ es un polinomio cúbico y por lo tanto tiene una raíz real $A$. Así, $\lambda$ es un autovalor de a$\lambda$; deje $A$ ser una correspondiente autovector. Tenemos\begin{align}\lVert v\rVert&=\lVert Av\rVert\\&=\lVert\lambda v\rVert\\&=\lvert\lambda\rvert.\lVert v\rVert\end{align}y, por tanto, $v$. Si $\lambda=\pm1$, hemos terminado. Si $\lambda=1$, vamos a $\lambda=-1$. A continuación, $W=v^\perp=\{w\in\mathbb R^3\,|\,\langle v,w\rangle=0\}$. El determinante de a$A.W\subset W$ debe ser negativa, ya que $A|_W$. Pero un $0<\det(A)=(-1)\times\det(A|_W)$ matriz con negativo determinante siempre tiene los autovalores (el discriminante del polinomio característico es mayor que $2\times2$). Por lo tanto, uno de los autovalor de a$0$ es positivo y el otro es negativo. Ya hemos encontrado un autovalor positivo, y puesto que ya se ha demostrado que el único autovalor positivo que $A|_W$ es $A$, hemos terminado.

Answer 2

Si $A^tA=I$, $\det(A)>0$ para una matriz de $A_{3\times3}$ entonces obviamente $A$ es algunos matriz de rotación.

Dicha matriz tiene muchas representaciones, uno de ellos es la fórmula de Rodrigues.

$A=I+\sin\theta K(v)+(1-\cos\theta) K^2(v)$

donde $K(v)$ es sesgar-matriz simétrica asociada con algunos vectores $v$.

Imagen para esta matriz es ortogonal a $v$, por lo tanto, por cálculos directos tenemos a partir de la fórmula $Av=v$.

Answer 3

Tales matrices se llaman ortogonales.

Es bien sabido que ortogonal de matrices de actuar como isometrías del espacio Euclidiano, tales como rotaciones, reflexiones o rotoreflections.

Leer acerca de ellos aquí.

De hecho, tenemos una rotación, ya que $\operatorname{det}A\gt0$. (Tenemos un elemento de $\operatorname{SO}(3)$, el especial ortogonal grupo.) El reclamo de la siguiente manera.