Todos los morfismos de Etale $X\to\Bbb A^1$

Question

Cuáles son todos los morfismos etale de un esquema $X$ a $\Bbb A^1_k$ ?

Sabiendo que $X\to \Bbb A^1_k$ es etale significa que $X$ es $1$ -dimensional creo. Además, $X$ debe admitir una cubierta abierta zariski por afines, $X=\bigcup_{i\in I} Spec(A_i)$ donde cada $A_i$ es un $k[t]$ -álgebra.

Así que tenemos que $X$ está cubierto por $1$ -dimensional afín $k[t]$ -álgebras. Además, estas $U_i=Spec(A_i)$ se toman por inmersión abierta $U_i\to X$ en $X$ y las inmersiones abiertas son etale, así que cada una de ellas es etale sobre $\Bbb A^1_k$ por lo que probablemente podamos simplificar nuestro análisis primero a afines sobre $\Bbb A^1_k$ .

En cuyo caso, primero queremos considerar $Spec(A_i)\to Spec(k[t])$ morfismos que son etale. Creo que $A_i$ debe presentarse finitamente como $k[t]$ -por tanto de la forma $k[t][x_1,\dots,x_n]/(f_1,\dots,f_m)$ donde ser $1$ -significa que $(f_1,\dots,f_m)$ debe recortar un $n$ -subvariedad dimensional de $\Bbb A^{n+1}_k$ .

No estoy seguro de estar en lo cierto en este punto, y no estoy seguro de cómo encontrarlos todos. Creo que tal vez se puede argumentar como: 1) morfismos etale finitos suryectivos a $\Bbb A^1_k$ son necesariamente sólo isomorfismos $\Bbb A^1_k\to \Bbb A^1_k$ 2) cualquier morfismo etale $X\to \Bbb A^1_k$ puede ser cubierto por morfismos etale finitos $U_i\to X\to \Bbb A^1_k$ y los compuestos de morfismos etale son etale 3) ???, 4) profit

Bonus: Realmente me gustaría entender todas las coberturas etale $\{U_i\to \Bbb A^1_k\}_{i\in I}$ donde la pregunta anterior fue mi primer obstáculo para resolverlo. Así que cualquier idea al respecto también sería útil.

Answer 1

$\newcommand{\h}{\mathcal{O}}$$\newcommand{\sep}{\mathrm{sep}}$$\newcommand{\Gal}{\mathrm{Gal}}$$\newcommand{\ov}[1]{\overline{#1}}$$\newcommand{\Spec}{\mathrm{Spec}}$

Descargo de responsabilidad: por supuesto, ninguno de los de abajo es original. No recuerdo donde me enteré (que era casi seguro que algo Brian Conrad escribió, pero no lo encuentro--que podría ser algo que había publicado en MO?).

Programa de instalación:

Deje $X$ ser cualquier esquema de Dedekind. Por definición (para mí) esto significa que $X$ forma normal Noetherian esquema de dimensión $1$ (de manera local el espectro de un dominio de Dedekind). Pongámonos $K:=K(X)$. Tenga en cuenta que para cada punto de $x\in X$ podemos definir una inercia subgrupo en $x$, denotado $I_x$, como sigue. Deje $\h_{X,\ov{x}}$ ser la estricta Henselization de $X$ a $\ov{x}:\Spec(k(x)^\sep)\to X$ (véase el este para más detalle). Tenga en cuenta que podemos incrustar $\h_{X,\ov{x}}$ a $K^\sep$ , esencialmente, de la siguiente manera. Elija una valoración $v'$ de $K^\sep$ se encuentra por encima del $v_x$. A continuación, tome la unión de la valoración de los anillos de $\{x\in F:v'(x)\geqslant 0\}$ como $L$ viaja a través de lo finito subextensions de $K^\sep/K$ tal que $v'$ (restringido a que su extensión es unramified más de $K$. Deje $L_x:=\mathrm{Frac}(\h_{X,\ov{x}})$. Nosotros, a continuación, establezca $I_x:=\Gal(K^\sep/L_x)$. Tenga en cuenta que $\Gal(K^\sep/K)/I_x\cong \Gal(k(x)^\sep/k(x)$.

Así que, en realidad no vamos a parametrizar explícitamente todos los etale cubre. En su lugar, vamos a prácticamente parametrizar todos los etale mapas. Menos críptica, supongamos ahora que $Y\to X$ es un etale de morfismos. Entonces, sabemos que $Y\to X$ es localmente quasi-finito, existe un abierto de la cubierta $\{Y_i\}$ de $Y$ tal que $Y_i\to X$ s cuasi-finito. En particular, cada etale mapa de $Y\to X$ tiene un refinamiento (en la gran Zariski sitio) por medio de una tapa de la forma $\displaystyle \bigsqcup_i Y_i\to X$ con $Y_i\to X$ cuasi-finito. Por lo tanto, para todos los intentos y propósitos, es realmente suficiente para describir la categoría de $\mathscr{C}$ de todos los cuasi-finito etale mapas de $U\to X$.

Hagamos las siguientes reducción. Es decir, tenga en cuenta que si $Y\to X$ es cuasi-finito, a continuación, $Y_K\to\mathrm{Spec}(K)$ es un finito etale $K$-esquema. De hecho, sabemos que cada etale esquema de más de $\mathrm{Spec}(K)$ es un discontinuo de la unión de los espectros de finito separables extensiones de $K$ (por ejemplo, véase esto). Desde $Y_K$ es cuasi-finito debe ser finito distinto de la unión, y por lo tanto de un número finito de etale de la cubierta.

Por la "difusión de principio", esto implica que existe algún abierto subscheme $U$ de $X$ tal que $Y_U\to U$ es finito etale. Pongámonos $\mathscr{C}_U$ a la categoría de cuasi-finito etale mapas de $Y\to X$ tal que $Y_U\to U$ es finito. Entonces, lo que realmente va a hacer aquí es dar una bastante fácil manera de 'paramaterize' de la categoría $\mathscr{C}_U$.

Descripción de $\mathscr{C}_U$

Tomemos un objeto $Y\to X$ de $\mathscr{C}_U$. Vamos esencialmente reclamo es que podemos de alguna manera la captura de $Y$ por el finito etale cubierta $Y_U\to U$ y el 'rezagadas fibras' sobre los puntos en $Z:=X-U$. por otra parte, hemos de decir que tanto las piezas de estos datos puede ser descrito en términos de conjuntos de Galois.

Comencemos por señalar que si $Y\to X$ es de $\mathscr{C}_U$ desde $U$ es normal sabemos que $Y_U$ es normal. Y, de hecho, es bastante fácil ver que $Y_U$ es en realidad sólo la normalización de $X$ en $Y_K$. Así, vemos que la $Y_U$ es en realidad determina a partir de $Y_K$ , el cual es determinado por el finito (discreto) $\Gal(K^\sep/K)$-set $Y(K^\sep)$ que es unramified a lo largo de $U$. Recordemos que un $\Gal(K^\sep/K)$-set $T$ se llama unramified en $x$ si $I_x$ actos trivialmente sobre ella, y que es unramified a lo largo de $U$ si su unramified en cada una de las $x\in U$.

De hecho, lo que hemos descrito es el siguiente de conocido el resultado:

Hecho 1: La asociación de $V\mapsto V(K^\sep)$ es una equivalencia de categorías a partir de la categoría de $\mathsf{Fet}(U)$ finito de etale cubre de $U$ para el conjunto finito de discretos $\Gal(K^\sep/K)$-establece unramified a lo largo de $U$.

Así que, esto explica el por $Y_U\to U$, pero, ¿qué acerca de estos rezagadas fibras de $Y_x$ para $x\in Z:=X-U$?

Además, tenga en cuenta que para cada una de las $x\in Z$ que tenemos una inclusión natural $Y(k(x)^\sep)\hookrightarrow Y(K^\sep)$. En efecto, desde el $Y_{\Spec(\h_{X,\ov{x}})}\to \Spec(\h_{X,\ov{x}})$ es etale, podemos utilizar Hensel del lema a decir que $Y(k(x)^\sep)=Y(\h_{X,\ov{x}})$. Desde $\h_{X,\ov{x}}\hookrightarrow K^\sep$ (por la discusión en el comienzo de la instalación) esto nos da un natural mapa de $Y(k(x)^\sep)\to Y(K^\sep)$ que se ve fácilmente para ser inyectiva. Por otra parte, desde la $I_x$ natural actos trivialmente en $Y(k(x)^\sep)$ (por definición) vemos que $Y(k(x)^\sep)$ naturalmente tierras en $Y(K^\sep)^{I_x}$.

Tenga en cuenta que desde $I_x$ actos trivialmente en $Y(K^\sep)^{I_x}$ que $\Gal(k(x)^\sep/k(x)$ actúa en $Y(K^\sep)^{I_x}$ y, de hecho, la inclusión de $Y(k(x)^\sep)\hookrightarrow Y(K^\sep)^{I_x}$ es $\Gal(k(x)^\sep/k(x)$-equivariant.

El principal resultado es entonces la siguiente:

Teorema: La asociación de $Y\mapsto (Y(K^\sep),\{Y(k(x)^\sep)\}_{x\in Z})$ es una equivalencia de categorías de $\mathscr{C}_U$ a la categoría de tuplas $(T,\{T_x\})$ donde $T$ es finita y discreto $\Gal(K^\sep/K)$- $T_x$ es $\Gal(k(x)^\sep/k(x))$estable subconjunto de $T^{I_x}$. Por otra parte, $T_x=T^{I_x}$ si y sólo si el asociado cuasi-finito etale esquema de $Y\to X$ es finito etale en algunas abrir barrio de $X$.

Así que podemos ver que $\mathscr{C}_U$ es parametrizada por algunos de hormigón grupos de Galois teórica de los datos.

Agregará ejemplo con $\mathbb{A}^1_k$ más tarde