diferencia básica entre el isomorfismo canónico y los isomorfos

Question

¿Cuál es la diferencia básica entre el isomorfismo canónico y los isomorfos?

Necesito un análisis básico.

Para mí, el isomorfismo canónico significa una similitud entre dos objetos geométricos con el mismo tipo de configuración y estructura.

Mientras que isomorfismo significa un mapa entre dos objetos algebraicos o grupo o campos etc.

Pero no estoy satisfecho con mi propio análisis.

¿Alguien puede ayudarme a entender estas dos definiciones?

Answer 1

Gran pregunta. Canónico es más un término de arte que una palabra con una definición matemática estricta. A veces se utiliza como sinónimo de "natural" u "obvio", aunque natural es otro idioma y obvio está en el ojo del que mira. Se puede pensar que significa independientemente de cualquier elección .

Parece que ahora estás en una clase de álgebra abstracta, pero espero que este ejemplo de álgebra lineal tenga sentido. Sea $V$ sea un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ de dimensión $n$ . Al elegir una base $(v_1,\dots,v_n)$ , $V$ es isomorfo a $\mathbb{R}^n$ . ¿Qué es el isomorfismo? Toma $v\in V$ lo descompone en $\alpha_1 v_1 + \dots + \alpha_n v_n$ y asigna a $v$ el $n$ -tupla $(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$ .

A través del isomorfismo a $\mathbb{R}^n$ todos los espacios vectoriales de la misma dimensión son isomorfos entre sí, pero no por una buena razón, ni de forma natural. El isomorfismo depende de la elección de la base.

Dejemos que $V^*$ sea el espacio dual de $V$ es decir, el espacio vectorial de las funciones lineales $V \to \mathbb{R}$ . Una vez que elija una base de $(v_1,\dots,v_n)$ se puede formar una base doble $(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ de $V^*$ , de tal manera que $\lambda_i(v_j) = \delta_{ij}$ . Así que $V$ y $V^*$ son isomorfas, pero no canónicamente.

Ahora dejemos que $V^{**}$ sea el espacio dual de $V^*$ . Elementos de $V^{**}$ son funciones lineales de $V^*$ a $\mathbb{R}$ . Una forma de crear este mapa es seleccionar $v \in V$ y enviar $\lambda \in V^*$ a $\lambda(v)$ . Esta asociación se extiende a un mapa lineal $$ f \colon V \to V^{**},\ f(v)(\lambda) = \lambda(v) $$ Por una cuenta de dimensión, este mapa tiene que ser un isomorfismo. Y, no tenemos que elegir una base para crearlo. Por esta razón, decimos que $V$ y $V^{**}$ son canónicamente isomorfo.

Answer 2

Demasiado para un comentario, pero hay algunas cosas que no veo mencionadas en las respuestas y comentarios existentes. "Natural" y "canónico" tienen significados relacionados pero algo diferentes en matemáticas. Esto no significa que todo el mundo los utilice perfectamente de acuerdo con esos significados. Pero este es un uso común. Empezaré con "natural" primero, y luego traeré "canónico".

El término natural en realidad tiene un significado matemático preciso, definido en la teoría de las categorías. De hecho, La teoría de las categorías se inventó originalmente para definir lo que significa "natural" . (El primer paso para estudiar algo es definirlo, y una vez que se han definido las "transformaciones naturales", se pueden utilizar para definir "natural" de forma más amplia).

Una comprensión intuitiva de "natural" es que significa que algo es definible por las propiedades genéricas de los objetos en la teoría que se estudia, en lugar de por las propiedades de los objetos específicos para los que se está definiendo la cosa.

Como ha comentado Matthew Leingang, los espacios vectoriales reales de dimensión finita son isomorfos a sus espacios duales. Pero para tener tal isomorfismo, tenemos que elegir una base para el espacio vectorial. El isomorfismo requiere algo específico de este espacio vectorial para definirlo. Pero no requerimos eso para definir este isomorfismo $\phi$ de un espacio vectorial con su segundo dual. Podemos definirlo simplemente a partir de la definición de "dual de un espacio vectorial real": $$\forall v \in V, f \in V^*, \phi(v)(f) := f(v)$$ Por eso $\phi$ es "natural".

Pero fíjate en la redacción de la comadreja en la descripción anterior: "en la teoría que se estudia". Por eso "natural" se convierte en una palabra de arte, más que de precisión: la mayoría de las veces no nos molestamos en establecer la categoría que permite una definición precisa de "natural". Eso se deja a nuestro público para que lo deduzca. Verán, un pequeño ajuste de la categoría en cuestión convertirá de repente lo antinatural en natural. En el álgebra lineal de dimensión finita, $V$ no es naturalmente isomorfo a $V^*$ . Pero en la teoría de las matrices, un espacio de columnas es naturalmente isomorfo a un espacio de filas por transposición, aunque el espacio de filas es naturalmente isomorfo al dual del espacio de columnas.

Cuando alguien llama a algo "natural", hay que averiguar en qué contexto está hablando. Y aquí es donde entra lo "canónico". Cuando llamamos a algo "canónico" cuando hay un contexto familiar (y obvio) en el que es natural, pero estamos (normalmente) trabajando en un contexto más amplio en el que no es natural. Por ejemplo, la base canónica de $\Bbb R^n$ es natural cuando se habla de matrices y espacios de columnas, tan natural que ni siquiera lo mencionamos, aunque subyace en prácticamente todo lo que hacemos. Pero si estamos considerando $\Bbb R^n$ como ejemplo de espacio vectorial, entonces no es natural, sino que se define por propiedades no vectoriales de $\Bbb R^n$ . Por eso utilizamos "canónico" para describirlo.

Answer 3

Coincido con @MatthewLeingang en que es una excelente pregunta. Un isomorfismo canónico es uno que viene junto con las estructuras que estás investigando, no requiriendo elecciones arbitrarias. Aquí hay otro ejemplo de álgebra abstracta.

Siempre que se tenga un homomorfismo de grupo sobreyectivo $\sigma: G \to H$ existe un isomorfismo natural $$ \phi : G/(\ker \sigma) \to H $$ definida por el establecimiento de $\phi (C) = \sigma(g)$ para cualquier $g \in C$ . Aquí $C$ es un coset del núcleo de $\sigma$ y el valor de $\phi$ es independiente de la elección de $g \in C$ .

Cuando $\sigma$ no es suryectiva esto define un homomorfismo inyectivo canónico.