Bueno por lo que entiendo lo de cálculo, álgebra lineal, la combinatoria y aún topología de intentar responder, pero ¿por qué inventar la categoría de teoría? En wikipedia dice que es para formalizar. Como lo que yo puedo decir que es una especie de como se generaliza un montón de campos de las matemáticas, como en la topología, los gráficos y los grupos que hemos isomorphisms y automorfismos y homomorphisms, me parece que sólo se encuentra un montón de resultados que son fieles a estas funciones en un montón de disciplinas. Pero, ¿por qué generalizar que ser de uso, quiero decir, ¿no sería más fácil demostrar, en particular, en cada una de las disciplinas importantes?
Respuestas
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Categoría de la teoría sirve para varios propósitos. En el nivel más superficial que proporciona un lenguaje común a casi todos los de las matemáticas y en ese sentido su importancia como un lenguaje que puede ser comparado con la importancia de la teoría de conjuntos como un lenguaje para hablar acerca de las matemáticas. En más detalle, la categoría de la teoría identifica muchos aspectos similares en muy diferentes áreas de las matemáticas y por lo tanto proporciona un común lenguaje unificador. El hecho de que casi cualquier estructura es una categoría, o la colección de todas estas estructuras con sus evidentes de la estructura de la preservación de las asignaciones de las formas de una categoría, significa que no podemos esperar demasiados general de teoremas en la categoría de la teoría a ser muy interesante (ya que cualquier cosa que usted puede probar sobre una categoría general tendrán que ser cierto de casi todo en matemáticas). Sin embargo, algunas verdades generales puede ser encontrado para ser muy útil y ahorro de trabajo. Por ejemplo, demostrando que el producto tensor de módulos es asociativa hasta un isomorfismo puede ser muy desalentador si se hace mediante el trabajo con la construcción del producto tensor. Pero, si por el contrario se observa en primer lugar que el tensor de producto satisface una cierta categórica universal de la propiedad, a continuación, la asociatividad hasta el isomorfismo se convierte de inmediato ya que en alguna de las categorías universales de la construcción es única hasta un isomorfismo.
Continuando con la analogía entre la teoría de conjuntos y a la categoría de teoría de lenguajes comunes para las matemáticas, la situación es como decir "un conjunto es sólo un montón de puntos. Ninguna estructura. Nada. Qué interesante y relevante puede ser, posiblemente, para el estudio de la teoría de conjuntos?". Como resulta que es interesante y muy importante para el resto de las matemáticas. Es muy útil conocer los fundamentos de los cardenales y de los ordinales, el Lema de Zorn, y técnicas similares para realmente probar cosas que en otras áreas. Exactamente el mismo fenómeno que es verdad en la categoría de teoría. Cierto, una categoría es sólo un montón de puntos y flechas y una composición de la regla, pero resulta que es útil conocer los fundamentos de la functors, la dualidad, adjunctions, (co)límites y así sucesivamente cuando realmente probar cosas.
Menos superficialmente, de la categoría de teoría alienta un cambio de turno en atención a lo estructura. En la categoría de la teoría del particular funcionamiento interno de un objeto no importa en absoluto. Todo lo que importa es cómo ese objeto está relacionado con (a través de los morfismos) a los otros objetos en la categoría. Esta es una situación familiar en muy clásica de las matemáticas. Por ejemplo, uno puede construir los números reales en muchas maneras (Dedekind cortes, Cauchy finalización etc.). Estos son los diferentes objetos, sino que son esencialmente el mismo. Justo lo que esta igualdad esencial de los medios es el respondió muy claramente por categoría de teoría: estas son las diferentes soluciones al mismo problema universal.
A lo largo de la misma temática, la categoría de la teoría permite que precisa el significado de una determinada construcción natural. Un ejemplo clásico es que para un número finito de dimensiones de espacio vectorial $V$, la doble dual es naturalmente isomorfo a $V$. Por supuesto, $V^{**}$ y $V$ son isomorfos simplemente porque tienen la misma dimensión, pero que no es el contenido de la declaración. Generalmente, algo es murmuró acerca de la falta de opciones arbitrarias, pero que no es realmente satisfactorio. Eilenberg y Mac Lane categorías definidas en el fin de definir functors, y la definición de functors el fin de definir las naturales transformaciones. La connaturalidad de transformaciones naturales da una definición precisa naturales construcciones de todo tipo, lo que es muy claro lo que la connaturalidad significa, y cómo probar la connaturalidad.
Más profundamente, algunas de las preguntas que nunca se han preguntado si no fuera por categoría de teoría. Por ejemplo, dado un anillo de $R$ uno puede construir la categoría de $R\text{-Mod}$ de $R$-módulos. Uno puede preguntarse por dos anillos de $R,S$ al es $R\text{-Mod}$ una categoría equivalente a $S\text{-Mod}$. La respuesta es que esto es precisamente cuando $R$ y $S$ lo Morita equivalente, una condición que es puramente anillo teórica y no hace uso de la categoría de la teoría del lenguaje. Pero, uno no podría haber hecho la pregunta sin la construcción de las categorías de primera.
Categoría de la teoría es muy útil para hablar acerca de las invariantes de la estructura. El ejemplo clásico es el grupo fundamental de un espacio topológico. El clásico de Seifert-van Kampen teorema para calcular el grupo fundamental era bastante difícil de demostrar. Sin embargo, si se limitaba a reiterar mediante la categoría de la teoría de un camino muy claro en sí mismo sugiere y da lugar a una simple prueba. Moderno homotopy teoría fue radicalmente transformado por la categoría de la teoría, en particular el famoso resultado de Quillen. Quillen se describe un cierto tipo de equivalencia entre dos categorías: la categoría de los espacios topológicos y la categoría de simplicial conjuntos. La importancia de esta equivalencia moderna homotopy teoría es inmenso y conduce avanzar en el estudio de $\infty$-categorías.
Otras áreas donde las categorías han tenido un profundo efecto son la geometría algebraica (la obra de Grothendieck) y la lógica (en la forma de topos de la teoría). Desde que mi respuesta ya está haciendo bastante largo, no voy a abundar en estos temas.
DanV
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281
No voy a entrar en la exacta de la importancia de la categoría de la teoría, porque no sé lo suficiente para responder a esta. Pero voy a comentar sobre tu última frase, en lugar de eso, porque me parece lo suficientemente importante como para la dirección.
La generalización es el pan y la mantequilla de las matemáticas. La idea es que a menudo hay muchas similitudes entre los dos aparentemente sin relación de los objetos, pero su diferencia es de por sí muy estorbar. Se hace la analogía se esconden bajo la superficie y no saltar a la derecha en usted.
Cuando abstracto algo por limpiar el desorden te encuentras con muy concentrado teoremas acerca de un montón de objetos. A veces, hubiera sido muy difícil de probar cada caso, y mucho menos para venir para arriba con la idea de probar estos casos. Las generalizaciones pueden hacer las cosas más fáciles de ver, más fácil de probar y fáciles de manejar.
Que se ha dicho, el de la generalización de volver de una manera muy abstracta de la teoría a la más "realista" de un (incluso si es una teoría abstracta, en su propio) puede ser un muy duro proceso. A veces, el proceso de abstracción mata a un montón de información interesante que te gustaría saber. Cosas como los cálculos reales o métodos para calcular ciertos valores. La restauración de los detalles puede ser bastante el trabajo duro, pero la abstracción nos ayuda a ver lo que es cierto , para empezar, y que un aspecto sumamente importante en las matemáticas, que es a menudo similar a vadear por un pantano de turba, con los ojos vendados con los cordones atados de un zapato a la otra. La generalización abstracta y teoremas son los faros.
A.Ellett
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346
En un cierto nivel, el estudio matemático de las estructuras. En un pequeño resumen, de la categoría de teoría permite hablar de estructuras recurrentes en otras disciplinas de las matemáticas; es una especie de unificación de la teoría. Mucho como el Álgebra de los estudios de diversos aritmética de las estructuras y destila sus propiedades sin tener que preocuparse de si usted está hablando acerca de los números enteros, las matrices, las familias de funciones, etc. que en los detalles son muy diferentes, por lo que la categoría de los deseos para destilar propiedades a través de diversas disciplinas de las matemáticas.
Lehs
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3591
Categoría de la teoría no es algo en lugar de otras teorías matemáticas, pero de otro y muy interactuar perspectiva. La búsqueda de teoremas y sus pruebas no tendrá fin mientras todavía hay matemáticos de la izquierda. Incluso el conocido sistema de los números naturales siempre esconden secretos y cualquier teoría que ayuda a probar o contador de probar sólo una simple conjetura es que vale la pena para ser desarrollados.
La categoría de idioma puede o no puede ser fecunda para un determinado estudio, pero siempre es una perspectiva que vale la pena considerar. En la teoría de los números no son menos y más complejas funciones. Las funciones menos complejas son los primeros en ser estudiados, pero las funciones más complejas, como el aumento del primer número de la función $p: \mathbb Z_+\rightarrow\mathbb Z_+$, parece resistirse a cualquier intento de finalmente de la encuesta.
Hay una categoría con todas las funciones $f: \mathbb Z_+\rightarrow\mathbb Z_+$ como objetos y un par de desplazamientos de las funciones $\alpha,\beta: \mathbb Z_+\rightarrow\mathbb Z_+$, $(\beta f=g\alpha)$, son los morfismos $\displaystyle f\desbordado{(\alpha,\beta)}{\longrightarrow}g$.
La investigación de una categoría (no sé si es que se hace), podría dar un nuevo enfoque a algunos problemas. Después de todo, no es sólo el primer número de la función que está sin resolver. Cuando el uso de categorías también existe la posibilidad de encontrar functors a otras categorías, de tal manera que los problemas difíciles en la categoría principal se transforma en una menor problema difícil en la categoría secundaria.
