¿Qué es$\sum_{k=1}^\infty \rm{sinc}^8(k)$ usando la función cardinal sinusoidal?

Question

Dado el seno de las funciones cardinales, $$\rm{sinc}(x) = \frac{\sin x}x$$

para $x\neq0$. Tenemos la agradable evaluaciones,

$$\sum_{k=1}^\infty \rm{sinc}(k) = \sum_{k=1}^\infty \rm{sinc}^2(k)=-\tfrac12+\tfrac12\pi$$ $$\sum_{k=1}^\infty \rm{sinc}^3(k)=-\tfrac12+\tfrac38\pi$$ $$\sum_{k=1}^\infty \rm{sinc}^4(k)=-\tfrac12+\tfrac13\pi$$ $$\sum_{k=1}^\infty \rm{sinc}^5(k)=-\tfrac12+\tfrac{115}{384}\pi$$ $$\sum_{k=1}^\infty \rm{sinc}^6(k)=-\tfrac12+\tfrac{11}{40}\pi$$

a continuación, el no-tan-agradable,

$$\sum_{k=1}^\infty \rm{sinc}^7(k)=-\tfrac12+\quad\\ \tfrac{1}{46080}(129423\pi-201684\pi^2+144060\pi^3-54880\pi^4+11760\pi^5-1344\pi^6+64\pi^7)$$

Sin embargo, he encontrado esto puede ser engalanada como,

$$\sum_{k=1}^\infty \rm{sinc}^7(k)=-\frac12+\frac{7\cdot29^2\,\pi}{2^5\,6!}+\frac{\pi\big(\pi-\tfrac72\big)^6}{6!}$$

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Preguntas:

1. ¿Por qué es la forma cerrada para $n=7$ mucho más complicada que la de $n<7$? (Y una buena lección de que "los patrones" puede ser ilusoria.)
2. ¿Qué es $n=8$ en términos de $\pi$? (Tal vez también para $n=9$?)

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Actualización: Cortesía de Oliver Oloa del comentario, para $n=8$, después de algunos ajustes,

$$\sum_{k=1}^\infty \rm{sinc}^8(k)=-\frac12+\frac{151\pi}{630}-\frac{\pi\big(\pi-\tfrac82\big)^7}{7!}$$

pero $n=9$ es más complicado. Véase la segunda respuesta más abajo.

Answer 1

El uso de polinomios de Bernoulli, uno puede hacer una fórmula general: $$S_n=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\sin^n k}{k^n}=-\frac{\pi^n}{2n!}\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}B_n\left(\Big\{\frac{n-2k}{2\pi}\Big\}\right),$$ donde $\{x\}=x-\lfloor x\rfloor$ denota la parte fraccionaria de $x$. Decir, continuando con los ejemplos, $$S_{10}=-\frac{1}{2}-\frac{1093\pi}{672}+\frac{5883\pi^2}{896}-\frac{2449\pi^3}{288}+\frac{563\pi^4}{96}\\-\frac{1423\pi^5}{576}+\frac{43\pi^6}{64}-\frac{103\pi^7}{864}+\frac{3\pi^8}{224}-\frac{\pi^9}{1152}+\frac{\pi^{10}}{40320}.$$ BTW, $n=7$ es la primera con $n>2\pi$, que hace que la complicación.

Answer 2

La Transformada De Fourier De La Analítica De Enfoque

La transformada de Fourier de $\frac{\sin(x)}x$es $$ f(x)=\pi\!\a la izquierda[-\tfrac1{2\pi}\le\xi\le\tfrac1{2\pi}\right]\tag1 $$ Esto significaría que la transformada de Fourier de $\frac{\sin^n(x)}{x^n}$ es $f_n(\xi)=\left(\ast^n\right)\!f(\xi)$, que es la convolución de $n$ copias de $f$.

La Sumación de Poisson Fórmula dice que $$ \sum_{k\in\mathbb{Z}}\frac{\sin^n(k)}{k^n}=\sum_{k\in\mathbb{Z}}f_n(k)\tag2 $$ El apoyo de $f$ es $\left[-\frac1{2\pi},\frac1{2\pi}\right]$; por lo tanto, el apoyo de $f_n$ es $\left[-\frac{n}{2\pi},\frac{n}{2\pi}\right]$. Además, desde el $f$ es incluso, $f_n$ también. Por lo tanto, $$ \sum_{k=1}^\infty\frac{\sin^n(k)}{k^n}=\frac{f_n(0)-1}2+\sum_{k=1}^{\left\lfloor\frac{n}{2\pi}\right\rfloor}f_n(k)\tag3 $$ Para $n\le6$, el lado derecho de la $(3)$ es $\frac{f_n(0)-1}2$. Para $7\le n\le12$, el lado derecho de la $(3)$ es $\frac{f_n(0)-1}2+f_n(1)$. Para $13\le n\le18$, el lado derecho de la $(3)$ es $\frac{f_n(0)-1}2+f_n(1)+f_n(2)$. Y así sucesivamente.

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El Contorno De Integración

Podemos utilizar el contorno de integración para obtener $$ \begin{align} f_n(\xi) &=\int_{-\infty}^\infty\frac{\sin^n(x)}{x^n}e^{-2\pi ix\xi}\,\mathrm{d}x\\ &=\int_{-\infty-i}^{\infty-i}\frac{\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)^n}{(2ix)^n}e^{-2\pi ix\xi}\,\mathrm{d}x\\ &=\sum_{k=0}^n(-1)^k\binom{n}{k}\int_{-\infty-i}^{\infty-i}\frac{e^{i(n-2k-2\pi\xi)x}}{(2ix)^n}\,\mathrm{d}x\\ &=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2-\pi\xi\rfloor}(-1)^k\binom{n}{k}2\pi\frac{(n-2k-2\pi\xi)^{n-1}}{2^n(n-1)!}\\ &=\frac{\pi}{2^{n-1}(n-1)!}\sum_{k=0}^{\lfloor n/2-\pi\xi\rfloor}(-1)^k\binom{n}{k}(n-2k-2\pi\xi)^{n-1}\tag4 \end{align} $$

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Cálculo

La aplicación de $(4)$ a $(3)$, se puede calcular el $\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{\sin^n(k)}{k^n}$ cualquier $n$: $$ \begin{array}{l|l} n&\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{\sin^n(k)}{k^n}\\\hline 1&\frac{\pi-1}2\\ 2&\frac{\pi-1}2\\ 3&\frac{3\pi-4}8\\ 4&\frac{2\pi-3}6\\ 5&\frac{115\pi-192}{384}\\ 6&\frac{11\pi-20}{40}\\ 7&\frac{5887\pi-11520}{23040}+\frac{\pi(7-2\pi)^6}{46080}\\ 8&\frac{151\pi-315}{630}+\frac{\pi(4-\pi)^7}{5040}\\ 9&\frac{259723\pi-573440}{1146880}+\frac{\pi(9-2\pi)^8}{10321920}-\frac{\pi(7-2\pi)^8}{1146880}\\ 10&\frac{15619\pi-36288}{72576}+\frac{\pi(5-\pi)^9}{362880}-\frac{\pi(4-\pi)^9}{36288}\\ 11&\frac{381773117\pi-928972800}{1857945600}+\frac{\pi(11-2\pi)^{10}}{3715891200}-\frac{11\pi(9-2\pi)^{10}}{3715891200}+\frac{11\pi(7-2\pi)^{10}}{743178240}\\ 12&\frac{655177\pi-1663200}{3326400}+\frac{\pi(6-\pi)^{11}}{39916800}-\frac{\pi(5-\pi)^{11}}{3326400}+\frac{\pi(4-\pi)^{11}}{604800} \end{array} $$

Answer 3

Este suplementos metamorphy aceptados por la respuesta, lo que me permitió investigar superior $n$. Definir,

$$I_n=\int_0^\infty \rm{sinc}^n(k)\,dk$$

$$F_n=\frac12-I_n+\sum_{k=1}^\infty \rm{sinc}^n(k)$$

Tenemos $F_1 = F_2 = F_3 = F_4 = F_5 = F_6 = 0$. Luego de las evaluaciones sencillas,

$$I_7 = \frac{5887}{23040}\pi,\quad F_7 = \frac{\pi\, v^6}{6!},\quad v =\pi-\tfrac72$$

$$\;I_8 =\frac{151}{630}\pi,\quad F_8 = -\frac{\pi\, v^7}{7!},\quad v =\pi-\tfrac82$$

Mientras que el patrón de $I_n$ como racional múltiples de $\pi$ continúa, la forma simple de $F_n$ no.

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La próxima $F_n$ son capicúa y casi capicúa,

$$F_9 = \frac{\pi}{2^5\,8!}\,P_0$$ $$P_0 = 1+10v+28v^2+70v^3+70v^4+70v^5+28v^6+10v^7+v^8$$

donde $v= 2(\pi-4)$.

$$F_{10} = \frac{\pi}{9!}\big(1+3P_1\big)$$ $$P_1 = 3+30v+120v^2+280v^3+420v^4+420v^5+280v^6+120v^7+30v^8+3v^9$$

donde $v = \pi-5$.

$$F_{11} = \frac{\pi}{10!}\big(11+15P_2\big)$$ $$P_2 = \small{3+36v+168v^2+432v^3+784v^4+\frac{4536}5v^5+784v^6+432v^7+168v^8+36v^9+3v^{10}}$$

y donde $v = \pi-9/2$.

Nota: por Desgracia, superior, $n$ no parecen tener formas similares. La respuesta dada por metamorphy no inmediatamente implica palindrómicas polinomios, así que uno puede preguntarse por qué estos aparecen.