Para$f \in L^1(\mathbb{R})$$y > 0$,${1\over{\sqrt{y}}} \int_\mathbb{R} f(x - t)e^{{-\pi t^2}\over{y}}dt \in L^1(\mathbb{R})$?

Question

Para$f \in L^1(\mathbb{R})$$y > 0$, vamos a$$f_y(x) := {1\over{\sqrt{y}}} \int_\mathbb{R} f(x - t)e^{{-\pi t^2}\over{y}}dt.$$

• Tenemos $f_y \in L^1(\mathbb{R})$ por cada $ y > 0$?
• Tenemos $\lim_{y \to 0} \int_\mathbb{R} |f(x) - f_y(x)|\,dx = 0$?
• ¿Existe $C > 0$ tal que, para cada $f \in L^1(\mathbb{R})$,$$\left\{x \in \mathbb{R} : \sup_{y > 0} \left|f_y(x)\right| > \lambda\right\} \le {C\over\lambda} \int_\mathbb{R} \left|f(t)\right|\,dt?$$
• Si $f \in L^1(\mathbb{R}$, entonces, tenemos que para un.e. $x \in \mathbb{R}$, $\lim_{y \to 0} f_y(x) = f(x)$?

Answer 1

Este es un intento de responder a las 4 preguntas por medios elementales.

Escribir $T_y$ para el operador lineal que los mapas de $f\in L^1$ $f_y.$

Para la primera pregunta que nos tenemos

$$\eqalignno{ \|T_y f\|_1&=\frac1{\sqrt y}\int_x\left|\int_t f(x-t)\exp(-\frac{\pi t^2}y)dt\right|dx\\ &\leq\frac1{\sqrt y}\int_x\int_t\left|f(x-t)\right|\exp(-\frac{\pi t^2}y)dtdx\\ &=\frac1{\sqrt y}\int_t\int_x|f(x-t)|dx\exp(-\frac{\pi t^2}y)dt y(*)\\ &=\|f\|_1\left(\frac1{\sqrt y}\int_t\exp(-\frac{\pi t^2}y)dt\right)\\ &=\|f\|_1. }$$

donde en ( * ), usamos la Fubini-Tonelli teorema.

La segunda pregunta es la afirmación de que $\lim_{y\to0}T_yf=f$ $L^1.$ Esto es fácil de comprobar por $f$ el indicador de función de un intervalo, y de allí a combinaciones lineales finitas (bloque de funciones). Pero el bloque de funciones son densos en $L^1,$ así que si $f_b$ es una función de bloqueo de cierre a $f$

$$\eqalign{ \|T_yf-f\|_1&\leq\|T_y f-T_y f_b+T_y f_b-f_b+f_b-f\|_1\\ &\leq\|T_y(f-f_b)\|_1+\|T_yf_b-f_b\|_1+\|f_b-f\|_1\\ &\leq2\|f-f_b\|_1+\|T_yf_b-f_b\|_1 }$$

en vista de la desigualdad en la respuesta a la pregunta 1.

La pregunta 4 sobre la convergencia en casi todas partes, que resulta de la más fuerte a la pregunta 2 sobre la convergencia en $L^1.$

Para la pregunta 3 tenga en cuenta que la función

$$\mathbb R^+\to\mathbb R:y\mapsto\frac1{\sqrt y}\exp(-\frac{\pi t^2}y)$$

alcanza su máximo cuando se $y^2=\pi t^2,$, por lo que tenemos

$$\sup_y\frac1{\sqrt y}\exp(-\frac{\pi t^2}y)=\frac1{\pi^{1/4}\sqrt{|t|}}\exp(-\sqrt\pi|t|).$$

Nos deja denotar la expresión en el lado derecho por $\phi(t),$ $\phi$ es una función integrable.

Ahora estimamos

$$\eqalignno{ \int_x\sup_y|T_yf(x)|dx&\leq\int_x\sup_y\frac1{\sqrt y}\int_t|f(x-t)|\exp(-\frac{\pi t^2}y)dt\, dx\\ &\leq\int_x\int_t|f(x-t)|\sup_y\frac1{\sqrt y}\exp(-\frac{\pi t^2}y)dt\, dx\\ &=\int_t\int_x|f(x-t)|\sup_y\frac1{\sqrt y}\exp(-\frac{\pi t^2}y)dx\ dt&(*)\\ &=\|f\|_1\int_t\phi(t)dt }$$

de la que podemos deducir que el $x\mapsto\sup_y|T_yf(x)|$ es una función integrable, y para cualquier $\lambda>0$ la medida de

$$\left\{x\in\mathbb{R}:\sup_y\left|f_y(x)\right|>\lambda\right\}$$

está delimitado por la

$$\frac{\|\phi\|_1}\lambda\|f\|_1.$$

Answer 2

Pregunta (1)

Vamos a utilizar el teorema: $f, g \in L^1 (\Bbb R) \implies f * g \in L^1 (\Bbb R)$.

Elija $g_y (t) = \frac 1 {\sqrt y } \Bbb e ^{- \frac {\pi t^2} y}$ y compruebe que $\int \limits _{\Bbb R} |g_y| \ \Bbb d t = 1$, por lo que el mencionado teorema nos da ese $f_y = f * g_y \in L^1 (\Bbb R)$.

Pregunta (2)

Vamos a utilizar el teorema: vamos a $f, g \in L^1(\Bbb R)$ $\int \limits _{\Bbb R} g \ \Bbb d t = 1$ y deje $g_r (t) = \frac 1 r g(\frac t r)$; a continuación,$\| f * g_r - f \| _1 \to 0$.

Elija $g(t) = \Bbb e ^{- \pi t^2}$; elija $r = \sqrt y$ y tenga en cuenta que $g_y (t) = \frac 1 {\sqrt y} g(\frac t {\sqrt y})$, por lo que podemos aplicar el mencionado teorema para conseguir ese $\int \limits _{\Bbb R} |f_y(x) - f(x)| \Bbb d x = \| f * g_y - f \|_1 \to 0$.

Los teoremas se pueden encontrar, por ejemplo, en la lección 4 del curso de Análisis Real por Cristopher Heil de la Tecnología de Georgia (teorema 1.12, (1), y la parte inferior de p20 y la parte superior de p21 (2)). Alternativamente, usted puede que desee echar un vistazo a la Lección 2 de un curso dado por Hart Smith, de la Universidad de Washington (páginas 2-6 para (1) y en la página 11 (2)). En general, una búsqueda en la web para "convolución " lp" o "convolución espacios lp" volverá aún más los resultados.