Teorema de la unicidad

Question

Tengo un problema con el siguiente ejercicio:

Supongamos que $f$ $g$ son integrables funciones que se $\mathcal F $ medibles. Supongamos que tenemos una secuencia de $\sigma$-campos {$\mathcal F_{n}$} tal que $\mathcal F_{n} \subset \mathcal F_{n+1}$ y para el que

(1) $\int_{A}f(x)dx = \int_{A}g(x)dx$ Una $\in \mathcal F_{n}$

Mostrar que si $\mathcal F$ es el más pequeño de $\sigma$-campo que contiene $\mathcal F_{n}$ para todo n, entonces

$f(x) = g(x)$ todos los $x$, salvo un conjunto de medida cero.

También hay una Sugerencia: tenga en cuenta que $\{x: f \gt g\} \in \mathcal F$. A continuación, puede ser útil para mostrar que la ecuación (1) tiene para todos los $A \in \mathcal F $. Aquí uno puede desear considerar el conjunto de $\mathcal G$ de todos los $\in \mathcal F$ para los que tenemos la ecuación (1) y, a continuación, mostrar que $\mathcal G$ $\sigma$- campo.

Este fue un Ejercicio dado hace muchos años en mi Universidad, pero sin una solución. Pero estoy interesado en una prueba de este problema. Por favor alguien puede dar una buena prueba. Gracias de antemano

Answer 1

Piensa en el conjunto$B=\{ A\in F : \int_{A} f = \int _{A} g \}$. Es fácil ver que$B$ es un$\sigma$ - álgebra que contiene cada$F_{n}$. Deducimos$B=F$.

Luego, si$\{ f>g\}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}} \{x: f(x)>g(x)+1/n\}$ tiene una medida que no es cero, existe$m\in\mathbb{N}$, por lo que$\{x:f(x)>g(x)+1/n\}$ no tiene una medida. Desde que tenemos $\{x:f(x)>g(x)+1/n\}\in F$. Entonces, $\int_{\{x:f(x)>g(x)+1/n\}}f = \int_{\{x:f(x)>g(x)+1/n\}}g\leq\int_{\{x:f(x)>g(x)+1/n\}}(f-1/n)$. $measure(\{x:f(x)>g(x)+1/n\})\leq 0$

Deducimos$\rightarrow \leftarrow$ ae. La otra desigualdad sigue de manera similar.