¿Cuál es la diferencia entre formular la respuesta mediante la fórmula cuadrática y la factorización?

Question

Tengo bastantes ganas de aprender cuál es la diferencia entre la factorización de cuadráticos (la $(x + a)(x + b)$ ), y utilizando la fórmula típica (donde $x = (-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac})/2a$ ), y en qué situaciones debería utilizar cualquiera de ellos.

Tome esto como un problema (no lo hice yo)

Sé que se requiere la fórmula cuadrática para resolver la respuesta, pero ¿por qué no el factor?

Anteriormente pregunté esto en Math Overflow, pero este es el lugar adecuado.

Gracias de antemano.

Answer 1

En primer lugar, en el contexto de un problema de mecánica como el que origina esta ecuación, a menudo sólo querrás una solución decimal aproximada en primer lugar. Dicho esto, vamos a suponer que realmente queremos una respuesta exacta y que los coeficientes de la ecuación cuadrática son números enteros, o incluso racionales.

En principio, siempre se puede utilizar cualquiera de los dos métodos, pero las raíces de $$a x^2 + b x + c = 0$$ a menudo contienen expresiones radicales, por lo que a menudo no es fácil factorizarlas. Inspeccionando la fórmula cuadrática podemos decir realmente cuándo ocurrirá esto: Las soluciones de la ecuación implicarán radicales (y la factorización es, a grandes rasgos, difícil) excepto cuando la cantidad $$\boxed{\Delta := b^2 - 4 a c}$$ es un cuadrado perfecto.

Ejemplo En el ejemplo enlazado, se nos pide que encontremos las soluciones de $-16 t^2 + 164 t = 92$ . La reordenación da como resultado $$16 t^2 - 164 t + 92 = 0,$$ y el cálculo con una calculadora de bolsillo muestra que $\Delta = 21\,008$ y que $\Delta$ no es un cuadrado perfecto, por lo que las raíces implicarán $\sqrt\Delta = \sqrt{21\,008} = 4 \sqrt{1\,313}$ ---definitivamente no es una cantidad con la que quieras lidiar al factorizar manualmente, si tienes la opción.

Nota: La cantidad $\Delta$ se llama discriminante del polinomio cuadrático, y nos da una buena cantidad de información sobre él. Por ejemplo, si es negativo, la expresión radical de la fórmula cuadrática es una expresión imaginaria, por lo que la ecuación cuadrática no tiene ninguna raíz real.

Answer 2

Cuál es el apropiado para usar cuando es simplemente una cuestión de la velocidad de cálculo de cada uno.

La factorización, por ejemplo, es algo que a menudo pensamos que sólo es posible cuando tenemos coeficientes racionales o enteros, y generalmente más pequeños. En la mayor parte de los casos, eso es cierto: si no quieres invertir una cantidad ingente de trabajo, debes centrarte en esos casos. Por ejemplo, considera tu ecuación:

$$h(t) = -16t^2 + 164t - 92 = 0$$

Para que el factor sea el adecuado, hay que averiguar qué factores de $92\cdot -16=-1472$ tienen una suma de $164$ . Puedes pasarte todo el día enumerando los distintos factores y comprobando la suma, o puedes decir "a la mierda" y decidirte a enchufar y tirar de la fórmula cuadrática, y probablemente lo resuelvas más rápido. De verdad, pruébalo, a ver qué resuelves más rápido.

(Anécdota: cuando se ve en una pregunta el principio de "redondear a la centésima más cercana", muchas veces eso significa que la pregunta tendrá raíces no muy bonitas, es decir, que serán probablemente irracionales. Lo que toca otro tema: si la raíz cuadrada en la fórmula cuadrática no es un cuadrado perfecto, entonces definitivamente no puedes factorizarla simplemente usando números enteros, podrías tener que llegar a los factores de la raíz cuadrada en su lugar... lo que hace que esto sea aún más complicado y es la razón por la que la factorización no siempre es óptima. Vamos a clavar ese punto en casa...)

Vale, olvídate de los números grandes y tal - digamos que eres genial factorizando incluso números grandes. Pero entonces hay un problema: la factorización no necesita números enteros/racionales. Son más fácil para trabajar así, pero considera:

$$(x+4\sqrt 2)(x + 2\sqrt 3) = x^2 + (4 \sqrt 2 + 2 \sqrt 3) x + 8 \sqrt 6$$

A simple vista, ¿cómo se podría factorizar esta última expresión, sin saber lo que ha llevado a ella? O quizás otra más desagradable y cruel:

$$(x + 4 \sqrt 6)(x - 3 \sqrt 6) = x^2 + \sqrt 6 x - 72$$

Al menos, si son "lo suficientemente bonitos", se puede adivinar un medio para factorizarlo, pero no veo ninguna forma obvia para el polinomio anterior. ¿Cómo se puede empezar a abordar esto? a priori ?

Prefiero sentarme allí y simplemente enchufar, que tratar de adivinar cómo factorizar alguna expresión extraña. Es más sencillo de hacer y procesar.

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Eso no quiere decir que ninguno de los dos métodos sea "inválido" en ninguna de las dos situaciones. La factorización aprovecha el hecho de que, si un polinomio de grado $n$ tiene raíces $r_1,r_2,...,r_n$ entonces se puede escribir en la forma

$$a(x-r_1)(x-r_2)...(x-r_n) =0$$

donde $a$ es su coeficiente principal. Y sucede que para los números enteros y los polinomios suficientemente similares, la factorización puede ser relativamente fácil. Pero no siempre es así, y por eso es bueno que la fórmula cuadrática ofrezca una solución rápida y general en caso de que las expresiones no sean lo suficientemente buenas, algo que no podemos decir de todos los polinomios.

En resumen: utilice el método que elija, ambos son válidos. Pero ten siempre en cuenta el tiempo que tardas en conseguir la solución de una manera, frente a la otra. No tiene sentido perder tiempo y energía cuando el resultado final es el mismo.

Answer 3

De hecho, no existe un método de resolución "por factorización".

A menos que la factorización sea obvia (por ejemplo $3x^2-2x$ o, con más práctica, $x^2+7x+12$ ), no se puede encontrar la factorización "de sopetón" y hay que recurrir a... la fórmula cuadrática.

Por ejemplo, intente factorizar

$$x^2-x-1$$

y

$$x^2-x+1.$$

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Un enfoque alternativo conocido como "completar el cuadrado", con el paso

$$ax^2+bx+c=a\left(\left(x+\frac b{2a}\right)^2+\cdots\right)=0$$

es efectivamente un método de resolución. Pero mirándolo bien, no es más que una forma de restablecer la fórmula cuadrática.

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Una segunda alternativa es utilizar las relaciones de Vieta,

$$r+s=-\frac ba,\\rs=\frac ca$$

y resolver para $r$ y $s$ . Puede haber una solución obvia, y sólo estás en el caso de la factorización "a simple vista". La segunda ecuación te lleva al "teorema de la raíz racional", que se puede utilizar cuando los coeficientes son enteros (factor $a$ y $c$ y probar las relaciones de los factores).

En el caso general, la resolución analítica de este sistema te lleva de nuevo a la fórmula cuadrática.

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En cuanto a la forma de presentar la respuesta, escribir

$$r=\cdots,\\s=\cdots\ $$ o $$ax^2+bx+c=a(x-r)(x-s)$$ transmiten la misma información.

Answer 4

De hecho, son equivalentes, así que no importa. $$(x+A)(x+B)=0$$ Se amplía a: $$x^2+(A+B)x+AB=0$$ Sustituyendo en la fórmula cuadrática: $$x=\frac{-(A+B)\pm\sqrt{(A+B)^2-4AB}}{2}$$ $$x=\frac{-(A+B)\pm\sqrt{(A-B)^2}}{2}$$ Se simplifica a: $$x=\frac{-(A+B)\pm(A-B)}{2}=-A,-B$$ que son exactamente las raíces encontradas al factorizar