¿Cómo puedo resolver$\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{xy\sin(x+y)}{x^2+y^2+|xy|}$?

Question

Cómo puedo resolver:$$\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{xy\sin(x+y)}{x^2+y^2+|xy|}$ $ Usé Wolfram Alpha, pero dijo que no existe.

Si lo hago solo me sale:

PS

entonces el límite existe y es 0, .. pero ¿cómo es eso, que no existe? ¿Dónde puede estar mi error?

Answer 1

Su argumento no es correcto, ya que la estimación $$ \bigl|\frac{xy\sin(x+y)}{x^2+y^2+|xy|} \bigr|<|xy\sin(x+y)| $$ es válida sólo si el denominador es mayor que uno, y que no es el caso de $x, y$ cerca de cero.

Pero su resultado es correcto, el límite es de hecho cero: De $$ \frac {|xy|}{x^2 + y^2 + |xy|} \le 1 \tag 1 $$ de ello se sigue que $$ \bigl| \frac{xy\sin(x+y)}{x^2+y^2+|xy|} \bigr| \le \ |\sin(x+y)| \le |x + y| $$ que tiende a cero para $(x, y) \to (0,0)$.

Comentario: Desde el AM-GM de la desigualdad ha $|xy| \le \frac{x^2 + y^2}2$ y por lo tanto, la desigualdad de $(1)$ puede ser mejorado para $$ \frac {|xy|}{x^2 + y^2 + |xy|} \le \frac{|xy|}{2 |xy| + |xy|} = \frac 13 \, . $$ Pero desde el otro factor $\sin(x+y)$ tiende a cero, esto mejor estimación no es necesario para calcular el límite.