Ejemplo de solicitud: extensión de campo no estructurada con una base de potencia relativa integral?

Question

Un campo de extensión de la $L/K$ (de los campos de número) admite una potencia relativa integral base si $\mathcal{O}_L = \mathcal{O}_K[\alpha]$ algunos $\alpha \in \mathcal{O}_L$. Estoy buscando un ejemplo sencillo en el que este se produce y $L/K$ es unramified.

He encontrado referencias a lo que implica que esto es posible, por ejemplo, en "Una Nota Integral de Bases de Unramified Cíclico Extensiones de Primer Grado' (H. Ichimura), pero la dificultad de esta serie de artículos es para la construcción de extensiones con la alimentación integral de la base de que no han integral normal bases. Como tal, me gustaría pensar que simples ejemplos.

Answer 1

Aquí hay otro ejemplo de una ecuación cuadrática de la extensión:

Deje $K=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ y deje $L=K(i)$ donde $i^2=-1$. Como resulta, $L$ es la de Hilbert Campo de la Clase de $K$, y por lo tanto $L/K$ está en todas partes unramified.

Ejercicio 2.42 (páginas 51 y 52), en cinco partes, determina el anillo de enteros de $\mathbb{Q}[\sqrt{m},\sqrt{n}]$ $m$ $n$ distintos squarefree enteros diferentes de $1$. (Ver esta pregunta y la respuesta.) En particular, $L=\mathbb{Q}(\sqrt{5},\sqrt{-5})$ y, por tanto, $\mathbb{O}_L$ tiene una integral base $$B=\left\{1,\frac{1+\sqrt{5}}{2},\sqrt{-5},\frac{\sqrt{-5}+i}{2}\right\}.$$ Deje $\alpha = \frac{\sqrt{-5}+i}{2}$. Entonces yo reclamo que $\mathcal{O}_K[\alpha] = \mathcal{O}_L$. Claramente, $\mathcal{O}_K[\alpha]\subseteq \mathcal{O}_L$, por lo que es suficiente para mostrar que $B\subseteq \mathcal{O}_K[\alpha]$.

Sabemos que $\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$. Por lo tanto, $1,\sqrt{-5}$, e $\alpha$ pertenecen a $\mathcal{O}_K[\alpha]$. También, $i=2\alpha-\sqrt{-5}\in \mathcal{O}_K[\alpha]$. Queda por demostrar que $\frac{1+\sqrt{5}}{2}\in \mathcal{O}_K[\alpha]$, pero $$\frac{1+\sqrt{5}}{2} = 1+i\cdot\frac{i+\sqrt{-5}}{2}=1+i\cdot \alpha\in \mathcal{O}_K[\alpha].$$ Por lo tanto, $\mathcal{O}_K[\alpha]=\mathcal{O}_L$.