Verificación de solución

Question

Demostrar que en un ángulo recto del triángulo en el punto medio de la hipotenusa es equidistante de los vértices.

Me han preguntado pregunta similar, pero sin resultado satisfactorio.

Así que lo resolví por mi mismo. Pero no estoy seguro de si es correcta o no. Así que por favor me ayude.

Solución:

Dejar en el triángulo $\Delta OAB$ ángulo recto en $A$. Donde $O$ es de origen y $\vec{a}$ es vector a lo largo de $OA$ $\vec{b}$ es vector a lo largo de $OB$.

Deje $C$ ser el punto medio de la hipotenusa $OB$.

Tenemos que demostrar a $OC = BC = AC$.

Como $C$ es el punto medio para $OC = BC = \frac{\vec{b}}{2}$

$AC = \frac{\vec{b}}{2} - \vec{a}$

No estoy recibiendo el valor de CA $\frac{\vec{b}}{2}$

Lo siento porque estoy usando mi móvil incapaz de dibujar y que incluyen la imagen.

Nada malo por favor dígame con la explicación. Gracias.

Answer 1

Cualquier triángulo rectángulo puede ser inscrito en un círculo con el centro $C$ donde la hipotenusa $OB$ es el diámetro. Ahora es sencillo deducir que $CA$ es un radio, por lo $CO=CB=CA=r$.

Este es un resultado de las primarias de la geometría, de hecho, es posible demostrar que en cualquier círculo el ángulo en el centro es el doble del correspondiente ángulo en la circunferencia: $\angle OCB=2\angle OAB$: Euclid del teorema del ángulo inscrito.

Ahora, si el ángulo de $\angle OCB=180$, luego $\angle OAB=90$, $OB$ es un diámetro y $\triangle OAB$ es un triángulo rectángulo.

Answer 2

En $\triangle ABC$ deje $A'$ ser el punto medio de $BC.$ Deje $B'$ mentira en $AC$ $A'B'\| AB.$ $\angle CAB =\angle CB'A$ porque $BA\| A'B'.$ $\angle CBA=\angle CA'B'$ por la misma razón. Así triángulos $CAB$ $CB'A'$ son similares. Así $$CB'/CA=CA'/CB=1/2.$$ So $B'$ is the mid-point of $CA.$

Supongamos $\angle CAB$ es un ángulo recto. Entonces así es $\angle CB'A'.$ Ya que también se$AB'=CB',$ esto significa que el $A'$ se encuentra en el derecho de la bisectriz de $CA$. Por lo tanto, Un' es equidistante de a y C. Que es, $$A'A=A'C.$$ Interchanging the letters $B,C$ throughout all of this we also get $$A'A=A'B.$$

En respuesta a los comentarios de la OP voy a añadir una segunda prueba.

Deje $O$ ser el origen. Deje $\|v\|$ denotar la longitud de un vector $v.$

Deje $B,C$ ser vectores no nulos con $\angle BOA$ ser un ángulo recto. Deje $l_1$ ser la línea a través de $O,C.$ Deje $l_2$ ser la línea a través de $O,B.$ Deje $l_3$ ser la línea a través de $B$ paralelo a $l_1.$ Tenemos $l_1\bot l_2$ $l_1\| l_3$ $l_2\bot l_3.$

Los vectores $B+C$ $B-C$ mentira en $l_3.$ Las distancias de$B+C$$B$, y de $ B-C$ $B$son, respectivamente, $\|(B+C)-B\|=\|C\|$ $\| (B-C)-B\|=\|-C\|=\|C\|,$ que son iguales distancias.

Y $l_2$ contiene $B$ $l_2\bot l_3.$ $l_2$ es el derecho a la bisectriz del segmento de unirse a $B-C$ $B+C.$ $O$se encuentra en $l_3.$ por lo Tanto las distancias de $B+C$ $O$e de $B-C$ $O$son iguales. Que es $$(\bullet ) \quad \|B+C\|=\|(B+C)-O\|=\|(B-C)-O\|=\|B-C\|.$$

El punto medio $P$ $B, C$ $(B+C)/2.$

La distancia de $P$ $B$$$\|(B+C)/2-B\|=\|(B-C)/2\|=\|B-C\|/2.$$

La distancia de $P$ $O$es $$ \|(B+C)/2-O\|=\|(B+C)/2\|=\|B+C\|/2.$$ From $(\bala )$ we see that $P$ is equidistant from $O$ and from $B.$