El idealizado Kelly estrategia es realista en gran parte debido a que el tamaño de la apuesta como un fijo fracción de capital que se debe dejar que sea arbitrariamente pequeño. Por esta razón, la estrategia maximiza la espera logarítmica de la tasa de crecimiento y, al mismo tiempo, impone una probabilidad cero de la ruina. En realista juego de azar de escenarios hay una apuesta mínima permitida tamaño, así que la segunda propiedad no se conserva.
Otra característica beneficiosa, en teoría, es que el tiempo previsto para alcanzar un determinado objetivo es asintóticamente menos que cualquier otra estrategia (incluyendo a los no-proporcional estrategias).
El hecho de que la estrategia supone ningún límite en el número de apuestas es poco realista, por supuesto, pero sólo en el siguiente sentido. Puede haber rachas de mala suerte que la unidad de capital cercano a cero y la reversión de la ejecución logarítmica de la tasa de crecimiento de regreso a la tasa esperada puede requerir un tiempo increíblemente largo y un impractically gran número de otras apuestas.
Sin embargo, en una situación en la que un número máximo de apuestas $n$ es restringido, el mismo Kelly óptimo fracción se aplica siempre y cuando la estrategia es apostar por una fracción fija de la riqueza. De nuevo, la fracción óptima que maximiza la espera logaritmo de la terminal de la riqueza (y se espera que la tasa logarítmica de crecimiento).
En el ejemplo, el resultado de cada apuesta es una binaria variable aleatoria $X_k$ donde $P(X_k = 1) = p$ e $P(X_k = -1) = q= 1-p$. Dado el capital inicial de $W_0$ la capital después de $n$ apuestas usando un fijo de apuestas fracción $f$ es
$$W_n = W_0(1 +f X_1)\cdots(1 + f X_n),$$
y así
$$\log \frac{W_n}{W_0} = \sum_{k=1}^n \log(1 + fX_k)$$
Dado que las variables aleatorias son idénticamente distribuidas tenemos
$$\mathbb{E} \left(\log \frac{W_n}{W_0}\right) = n\left(p \log(1+f) + q\log(1-f) \right)$$
El óptimo de la fracción $f^* \in [0,1]$ que maximiza esta expectativa (se encuentra tomando la derivada con respecto al $f$ e igualando a cero) es
$$f^* = p - q = 2p -1,$$
y este resultado se cumple para cualquier elección de $n$.
La probabilidad de ruina todavía es cero ya que el peor de los casos de $n$ repetidas pérdidas resultados en
$$\tag{*}W_n = W_0 (1-f^*)^n = W_0 2^n(1-p)^n > 0$$
Sin embargo, con un pequeño número de apuestas, la varianza de los posibles resultados - con el peor de los casos (*) - puede ser muy desagradables. La deseable asintótica propiedades de la Kelly estrategia no puede ser visto. Por ejemplo, uno puede ejecutar fuera de las apuestas, mientras que todavía en un profundo abatimiento.
Puede ser preferible aplicar una estrategia para el logro de algún objetivo, por ejemplo, el aumento de capital por $25 \%$ mientras que minimiza la varianza de los resultados o la probabilidad de ruina.
Si las probabilidades son desfavorables ($p < 1/2$), a continuación, la estrategia que minimiza la probabilidad de ruina con una meta de duplicar el capital es apostar todo a la vez. Los juegos de azar con apuestas más pequeñas permite que el juego continúe más tiempo (un objetivo), pero en la cara desfavorable de probabilidades la probabilidad de ruina aumenta. Por supuesto, los propietarios de los casinos como este fenómeno.
Para más información, véase el Jugador de la ruina.
