¿Qué se puede decir de las adjunciones entre grupos (consideradas como categorías de un solo objeto)?

Question

Estoy tratando de responder a esta pregunta: ¿Qué se puede decir de las adjunciones entre grupos (considerados como categorías de un solo objeto)?

Esto es a lo que he llegado hasta ahora, pero no puedo concluir de alguna manera. Me parece que falta un último paso.

Consideremos $G_1$ y $G_2$ grupos y veámoslos como categorías de un solo objeto $\mathcal{G}_1$ y $\mathcal{G}_2$ , cuyos únicos objetos son $G_1$ y $G_2$ respectivamente. Tomemos entonces $F:\mathcal{G}_1\longrightarrow\mathcal{G}_2$ , $H:\mathcal{G}_2\longrightarrow\mathcal{G}_1$ funtores y supongamos que $F\dashv H$ . Esto equivale a afirmar que el mapa $\eta_{G_1}:G_1\longrightarrow HF(G_1)$ es inicial en $(G_1\Rightarrow H)$ (basta con indicarlo para este único mapa $\eta_{G_1}$ desde $G_1$ es el único objeto de $\mathcal{G}_1$ ). Sin embargo, al ser $\mathcal{G}_1$ y $\mathcal{G}_2$ categorías de un objeto, ya sabemos cómo los funtores $F$ y $H$ se definen en los objetos, a saber $F(G_1)=G_2$ y $H(G_2)=G_1$ . Así que el mapa $\eta_{G_1}$ es nada más que una función de $G_1$ a sí mismo.\N- Veamos ahora la categoría de la coma $(G_1\Rightarrow H)$ . Sus objetos son los mapas de la forma $g_1:G_1\longrightarrow H(G_2)$ por lo que son simplemente las funciones de $G_1$ a sí mismo. Un mapa entre $g_1$ y $g_1'$ en $(G_1\Rightarrow H)$ es una función $g_2:G_2\longrightarrow G_2$ tal que $g_1'=H(g_2)\circ g_1$ por lo que podemos escribirlo como `` $g_1\rightarrow H(g_2)$ ''.\ Ahora, queremos imponer que $\eta_{G_1}$ es un objeto inicial en $(G_1\Rightarrow H)$ . Así que dejemos $g_1$ sea un objeto arbitrario objeto en $Ob(\mathcal{G}_1)$ y forzamos el mapa $g_2\in (G_1\Rightarrow H)(\eta_{G_1},g_1)$ para ser único. Por lo tanto, debemos tener $g_2$ para ser el único mapa tal que $g_1=H(g_2)\circ \eta_{G_1}$ .

Así que ahora, ¿qué podemos decir realmente interesante acerca de este $g_2$ ???

¡Gracias de antemano por cualquier ayuda!

Answer 1

Dado que los grupos como categorías de un objeto son un caso especial de groupoides es decir, categorías en las que cada morfismo es un isomorfismo, para cualquier adjunto $F\dashv H\colon\mathcal G_1\to\mathcal G_2$ entre dos grupos(oides), las transformaciones naturales de la unidad y del conejo $\mathrm{id}_{\mathcal G_1}\overset{\eta}\Rightarrow HF$ y $FH\overset\epsilon\Rightarrow\mathrm{id}_{\mathcal G_2}$ serán isomorfismos naturales. En particular, todos los pares adyacentes de funtores entre dos grupos(oid) son adyacentes equivalencias .

En el caso especial de la adjunción $F\dashv H\colon\mathcal G_1\to\mathcal G_2$ de categorías de un solo objeto (es decir, monoides), podemos identificar $\eta$ y $\epsilon$ con elementos de $\mathcal G_1$ y $\mathcal G_2$ respectivamente, que deben satisfacer las condiciones de naturalidad

1. $HF(g_1)\eta=\eta g_1$ para todos $g_1\in\mathcal G_1$
2. $g_2\epsilon=\epsilon FH(g_2)$ para todos $g_2\in\mathcal G_2$

Además, las identidades en zig-zag que convierten la unidad y el conit en una adjunción entre los dos funtores (es decir, homomorfismos monoides) son

1. $\epsilon F(\eta)=\mathrm{id}_{\mathcal G_2}$
2. $H(\epsilon)\eta=\mathrm{id}_{\mathcal G_1}$

Al multiplicar las condiciones de naturalidad con las inversas dadas por la identidad zig-zag, acabamos reduciendo las cuatro condiciones a las dos siguientes

1. $H(\epsilon F(g_1))\eta=g_1$ para todos $g_1\in\mathcal G_1$
2. $g_2=\epsilon F(H(g_2)\eta))$ para todos $g_2\in\mathcal G_2$

De hecho, las identidades en zig-zag son el caso especial en el que $g_1$ y $g_2$ son los elementos de identidad de los grupos. En particular, en el caso de un grupo (en el que coinciden los inversos izquierdo y derecho), tenemos $HF(g_1)=\eta^{-1}g_1\eta$ y $FH(g_2)=\epsilon^{-1}g_2\epsilon$ donde $\eta^{-1}=H(\epsilon)$ y $\epsilon^{-1}=F(\eta)$ . Por lo tanto, una adjunción entre dos grupos consiste en un par de homomorfismos de grupo $F\colon\mathcal G_1\rightleftarrows\mathcal G_2\colon H$ cuyos compuestos son automorfismos internos de modo que $F$ envía el automorfismo interno de $\mathcal G_1$ al automorfismo interno inverso de $\mathcal G_2$ y a la inversa para $H$ .

Answer 2

Toda transformación natural entre funtores entre grupos es una equivalencia, por lo que toda adjunción es una equivalencia.