He resuelto el siguiente problema:
Sea $g(z) = \cos z$ . Visite $g^{-1}[-2,2]$ .
pero mi solución era un poco larga. Me preguntaba si había una manera más rápida de hacer este problema.
Esta es mi solución: Escribe $\cos z = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$ y $z = a+bi$ Así que $$\cos z = \frac{e^{-b + ia} + e^{b - ia}}{2} = \frac{e^{-b}}{2}[\cos a + i \sin a] + \frac{e^b}{2}[\cos a - i \sin a]$$ $$ = \frac{e^{-b} + e^b}{2} \cos a + i \frac{e^{-b} - e^b}{2} \sin a$$ En primer lugar, queremos $\cos z$ sea real, por lo que (i) $e^{-b} - e^b = 0$ o (ii) $\sin a = 0$ . El primer caso no es interesante, esto sólo dice que $b = 0$ y en este caso ya sabemos que $\cos a \in [-1,1]$ . Para el segundo caso, tendremos $a = k \pi$ para $k \in \mathbb{Z}$ . Esto implica que $$\cos z = \pm \frac{e^{-b} + e^{b}}{2}$$ para hacer $\cos z \in [-2,2]$ necesitamos $h(b) := e^{-b} + e^b$ estar en $[-4,4]$ . Claramente $h$ es una función par, creciente en cualquier dirección, por lo que tenemos que resolver $e^{-x} + e^x = 4$ para $x$ . Sea $y = e^x$ entonces $\frac{1}{y} + y =4$ Así que $y^2 - 4y + 1 =0$ . Entonces $$y= \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$$ así que $x = \log (2 \pm \sqrt{3})$ . Mirando la ecuación que debíamos resolver, sabemos sin calcular nada que $- \log(2 + \sqrt{3}) = \log(2 - \sqrt{3})$ . Dejar $\alpha = \log(2 + \sqrt{3})$ se cumple que $e^b + e^{-b} \leq 4$ para $- \alpha \leq b \leq \alpha$ .
Así $g^{-1}[-2,2]$ consiste en la línea real unida a $$\bigcup\limits_{k \in \mathbb{Z}} \{ k \pi + bi : -\alpha \leq b \leq \alpha\}$$
