Relaciones de equivalencia en conjuntos de pares ordenados

Question

Dejemos que $\mathbb{R}$ sea la relación sobre $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ es decir, los elementos de esta relación son pares de pares de enteros, tales que $((a,b),(c,d)) \in \mathbb{R}$ si y sólo si $a-d = c-b$ . ¿Alguien puede darme una idea de cómo resolverlo para que sea transitivo, reflexivo y simétrico?

Answer 1

• Reflexivo: $\forall (a,b):\Bigl[(a,b)\in \mathbb{Z\times Z} \to \bigl((a,b),(a,b)\bigr)\in R\Bigr]$

• Simétrico: $\forall (a,b,c,d): \Bigl[\bigl((a,b),(c,d)\bigr)\in R \leftrightarrow \bigl((c,d),(a,b)\bigr)\in R\Bigr]$

• Transitivo: $\forall (a,b,c,d)\exists (e,f): \Bigl[\bigl((a,b),(e,f)\bigr)\in R\land \bigl((e,f),(c,d)\bigr)\in R \leftrightarrow \bigl((a,b),(c,d)\bigr)\in R\Bigr]$

Demuestre que estas propiedades se mantienen (o no) cuando $\Bigl[\bigl((a,b),(c,d)\bigr)\in R \Bigr]\iff\Bigl[ a-d=c-b\Bigr]$

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Una pista: $[a-d=c-b] \iff [a+b=c+d]$

Answer 2

Reflexivo: $((a,b),(a,b))\in R$ desde $a-b=a-b$ .

Simétrico: Supongamos que $((a,b),(c,d))\in R$ desde $a-d=c-b$ Por lo tanto $c-b=a-d$ . Así que $((c,d),(a,b))\in R$ .

Transitivo: Supongamos que $((a,b),(c,d))\in R$ y $((c,d),(e,f))\in R$ . Entonces $a-d=c-b$ y $c-f=e-d$ y por lo tanto $a-d+c-f=c-b+e-d$ lo que implica que $a-f=e-b$ . Así que tenemos que $((a,b),(e,f))\in R$