¿Cuál es la Albanese mapa?

Question

Estoy leyendo un libro de texto en los complejos colectores y venir a través de la Albanese mapa. Para un compacto de Kähler colector $X$, $$ T=H^0(X,\Omega_{X}^1)^*/H_1(M,\mathbb{Z}) $$ es un complejo de toro, llamado el Albanese toro de $X$. Fijar un punto de $p\in X$, se obtiene llamado el Albanese mapa de $\phi:X\rightarrow T$ a través de $$ q\mapsto [\alpha \mapsto \int_{p}^{q}\alpha], $$ donde $\alpha$ es un elemento de $H^0(X,\Omega_{X}^1)$ y el valor de $\int_{p}^{q}\alpha$ se define a "ciclos" $H_1(M,\mathbb{Z})$. Como de costumbre, este mapa satisface ciertas propiedades universales.

La construcción es fácil, pero abstracto. Ahora me gustaría saber cómo la Albanese mapa se utiliza. Hay buenas aplicaciones de la Albanese mapa?

Answer 1

La principal virtud de la Albanese variedad es la universalización de la propiedad: dado cualquier compacto torus $A$, todos los morfismos $X\to A$ factores de forma exclusiva a través de $T=Alb(X)$.

La aplicación más sencilla de Albanese variedades que se me ocurre es que si $H^0(X,\Omega^1_X)=0$, entonces cada morfismos $X\to A$ $X$ en un compacto torus $A$ es constante: es más, debe factor a través de $T=H^0(X,\Omega_{X}^1)^*/H_1(M,\mathbb{Z})$, sólo un punto si $H^0(X,\Omega^1_X)=0$.
Esto se aplica en particular a $\mathbb P^n_\mathbb C$, cuya holomorphic de los mapas en compacto tori así son todos constantes.

Un más sofisticado uso de Albanese variedades es la prueba de que no falló proyectiva de la superficie tiene un único modelo de un mínimo de: ver Beauville del libro, teorema V. 19