Minimiza la probabilidad de obtener la misma suma de dos tiradas.

Question

Si usted puede diseñar dos dados que no necesariamente justo y no necesariamente ponderado de la misma manera, entonces el rollo de dos veces. ¿Cómo se puede minimizar la probabilidad de obtener la misma suma de los dos rollos?

Mi pensamiento es ya que la probabilidad de obtener la misma suma de dos justo dados es $\dfrac{6^2+2\times(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2)}{36^2}$. Nuestro objetivo es minimizar el numerador cambiando el peso de cada lado de los dados. Si hacemos un dado con $1$ ponderado más y el otro lado con lado $6$ ponderado más, entonces podemos reducir la probabilidad de obtener la misma suma. Estoy en lo cierto? No tengo idea de lo que se viene. Alguien me puede ayudar por favor? Gracias.

Answer 1

A partir de experimentos numéricos, parece que el óptimo es tener una mueren mostrar sólo los $1$ o $6$ con una probabilidad de $\frac12$ cada uno, y el uso de las probabilidades de $\left(\frac18,\frac3{16},\frac3{16},\frac3{16},\frac3{16},\frac18\right)$ para los otros mueren. Las probabilidades de que las sumas son, a continuación, $\frac1{16}$ $2$ y $12$, $\frac18$ para $7$ $\frac3{32}$ para todos los otros valores. Puedo demostrar que esto es un óptimo local, pero no sé cómo demostrar que es un óptimo global. La probabilidad de obtener la misma suma dos veces el uso de estas probabilidades es $\frac3{32}=0.09375$, muy cerca del límite inferior $\frac1{11}=0.\overline{09}$ que se hubiera obtenido si todas las sumas tienen la misma probabilidad. Esto es estar frente a $\frac{73}{648}\approx0.11265$ para la feria de dados, de modo que la distancia hasta el límite inferior se ha reducido a $13\%$ de su valor para la feria de dados. Curiosamente, si permitimos que la negativa de las probabilidades, la óptima parece ser $\frac{11}{120}=0.91\overline6$, que también pasa a ser un número recientemente me encontré en el Proyecto de Euler.

También curiosamente, el óptimo simétrica solución no es tan buena. En una forma totalmente simétrica solución, tanto de los dados tienen la misma distribución, y la distribución sería invariante bajo la inversión de $x\to7-x$. Que además de la normalización de las hojas de sólo dos grados de libertad, $p_1$$p_2$, $p_3=\frac12-p_1-p_2$ determinado por la normalización y el resto por la simetría. Entonces la probabilidad de obtener la misma suma dos veces es

$$2p_1^4+2(2p_1p_2)^2+2(2p_1p_3+p_2^2)^2+2(2p_1p_3+2p_2p_3)^2+2(2p_1p_2+2p_2p_3+p_3^2)^2+(2p_1^2+2p_2^2+2p_3^2)^2\\ =36 p_1^4+88 p_1^3 p_2-36 p_1^3+108 p_1^2 p_2^2-72 p_1^2 p_2+15 p_1^2+48 p_1 p_2^3-48 p_1 p_2^2+18 p_1 p_2-3 p_1+28 p_2^4-24 p_2^3+9 p_2^2-2 p_2+\frac38$$

(Wolfram|Alpha de cálculo), y la minimización de este rendimientos

$$p_1\approx0.243883\;,\\ p_2\approx0.137479\;,\\ p_3\approx0.118638\;,\\ $$

con una probabilidad de $\approx0.104303$ de obtener la misma suma (Wolfram|Alpha de cálculo), lo que reduce la diferencia entre el límite inferior sólo a unos $62\%$.

P. S.: yo hice lo mismo numérica de las investigaciones de los tres dados, y parece que estos están optimizados si dos de ellos muestran sólo $1$ o $6$ con una probabilidad de $\frac12$ cada una y la tercera tiene probabilidades de $\left(\frac3{26},\frac5{26},\frac5{26},\frac5{26},\frac5{26},\frac3{26}\right)$. En este caso la probabilidad de que coincidiendo sumas es $\frac{15}{208}\approx0.07212$, en comparación con el límite inferior $\frac1{16}=0.0625$. Las probabilidades de las sumas que en este caso se $\frac1{104}(3,5,5,5,5,9,10,10,10,10,9,5,5,5,5,3)$.