Unicidad del morfismo (razonamiento en lenguaje categorial).

Question

Esta pregunta está relacionada con un anterior pregunta mía.

Se me ocurre que tal vez lo que hay que pedir es que alguien resuelva uno de los problemas del libro de Aluffi, así sabré cómo debe ser el razonamiento.

La siguiente pregunta aparece en la sección 2.3 del libro de Aluffi:

Dejemos que $\varphi: G \to H$ sea un morfismo en una categoría con productos. Explica por qué hay un morfismo único

$$(\varphi \times \varphi): G \times G \to H \times H.$$ compatible de forma evidente con las proyecciones naturales.

Siguiente $\psi: H \to K$ sea un morfismo en la misma categoría y considerar los morfismos entre los productos $G \times G, H \times H, K \times K$ .

Pruébalo: $$(\psi \varphi) \times (\psi \varphi) = (\psi \times \psi)(\varphi \times \varphi).$$

¿Cómo debería ser una respuesta rigurosa a esta pregunta? Se prefieren las respuestas con diagramas (ya que esta es una parte importante que todavía no entiendo). Por favor, no dejes huecos en el razonamiento a menos que sean totalmente obvios y si usas diagramas por favor explica cómo razonas con ellos.

Me gustaría recalcar que no estoy haciendo esta pregunta por pereza. Me encuentro un poco perdido en este nuevo lenguaje y necesito orientación.

Grandes ventajas para cualquiera que me haga entender el panorama general y hacer que todo parezca un mal sueño.

Answer 1

Llamemos a $\pi_1 \colon G \times G \to G$ y $\pi_2 \colon G \times G \to G$ las dos proyecciones del producto $G\times G$ . Sea $p_1 \colon H \times H \to H$ y $p_2 \colon H \times H \to H$ sean las proyecciones del producto $H \times H$ . Por último, dejemos que $q_1 \colon K \times K \to K$ y $q_2 \colon K \times K \to K$ sean las proyecciones del producto $K\times K$ .

La forma evidente en que el morfismo $\varphi \times \varphi$ debe ser compatible con las proyecciones de los dos productos se expresa mediante las siguientes ecuaciones $$p_1 \circ \varphi \times \varphi = \varphi \circ \pi_1$$ $$p_2 \circ \varphi \times \varphi = \varphi \circ \pi_2$$ La existencia de tales morfismos $\varphi \times \varphi$ proviene de la propiedad universal del producto $H\times H$ que dice que para el par $\varphi \circ \pi_1,\varphi \circ \pi_2 \colon G\times G \to H$ hay un único $\varphi \times \varphi \colon G \times G \to H \times H$ que satisface esas ecuaciones .

Para resolver el segundo problema podemos observar que acabamos de demostrar que para todo homomorfismo $\varphi \colon G \to H$ el morfismo $\varphi \times \varphi \colon G \times G \to H \times H$ viene dada por la propiedad universal anterior.

Para comprobar que para $\varphi \colon G \to H$ y $\psi \colon H \to K$ tenemos que $$\psi \circ \varphi \times \psi \circ \varphi = (\psi \times \psi) \circ (\varphi \times \varphi)$$ sólo tenemos que demostrar que $(\psi \times \psi) \circ (\varphi\times \varphi)$ verifica la ecuación correspondiente que expresa la propiedad universal. Es decir, tenemos que verificar que $$q_1 \circ (\psi \times \psi) \circ (\varphi\times \varphi) = \psi \circ \varphi \circ \pi_1$$ y $$q_2 \circ (\psi \times \psi) \circ (\varphi\times \varphi) = \psi \circ \varphi \circ \pi_2$$

Por lo dicho anteriormente $q_1 \circ (\psi \times \psi)=\psi \circ p_1$ y $q_2 \circ (\psi \times \psi)=\psi \circ p_2$ así que $$q_1 \circ (\psi \times \psi) \circ (\varphi\times \varphi) = \psi \circ p_1 \circ (\varphi \times \varphi)$$ que es igual a $\psi \circ \varphi \circ \pi_1$ (porque $p_1 \circ(\varphi \times \varphi)=\varphi \circ \pi_1$ ).

De forma similar se puede demostrar la otra igualdad.

Espero que esto ayude.

Answer 2

Dar mapa al producto $H\times H$ es exactamente lo mismo como dar un par de mapas a cada uno de los factores, es decir, un par de mapas $f_1,f_2: G\times G \to H.$

(Este es el definición del producto categórico: un mapa al producto está determinado por su compuesto con cada una de las proyecciones).

Somos que requiere que el mapa $G\times G \to H \times H$ sea compatible con las proyecciones, por lo que no tenemos más remedio que definir $f_i$ para ser el compuesto de la $i$ la proyección $G\times G \to G$ y el morfismo dado $G \to H$ .

Juntando todo esto, hemos demostrado la existencia y la unicidad.

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No estoy seguro de que los diagramas sean particularmente útiles aquí. El punto principal es entender cómo dar un mapa al producto categórico (es decir, por definición, hay que dar un mapa a cada factor), y luego entender (en este caso particular, o en cualquier caso particular que se trate) lo que los mapas del factor.

Answer 3

La pregunta no es correcta. No hay un morfismo único $G\times G\to H\times H$ ...hay un morfismo único... con tales o cuales propiedades .

Recomiendo empezar a pensar en la categoría de conjuntos. Si tengo un mapa de conjuntos $G\to H$ ¿existe un mapa "natural" $G\times G \to H\times H$ que se le ocurra? ¿Hay alguna propiedad especial que distinga este mapa de cualquier otro?