Deje $g(x)=e^{-1/x^2}$$x\not=0$$g(0)=0$. Mostrar que $g^{(n)}(0)=0$ todos los $n\in\Bbb N$.

Question

Deje $g(x)=e^{-1/x^2}$$x\not=0$$g(0)=0$. Mostrar que $g^{(n)}(0)=0$ todos los $n\in\Bbb N$.

En el texto ya está demostrado que para la función $f$$f(x)=e^{-\frac{1}{x}}$$x>0$$f(x)=0$$x\leq 0$,$f^{(n)}(0)=0$.

Esto es lo que pensamos:
Como $g(x)=f(x^2)$$x\in\Bbb R$, podemos ser capaces de usar esto. Como $g^{(n)}$ se convierte en muy peludo después de tomar un par de derivados. Alguna idea ?

Answer 1

Sugerencia: Probar de forma recursiva el más fuerte de la propiedad de que para cada $n\geqslant0$ existe un polinomio $P_n$ tal que $g^{(n)}(x)=P_n(1/x)\,\mathrm e^{-1/x^2}$ por cada $x\ne0$$g^{(n)}(0)=0$.

La inducción se utiliza el hecho (que es posible que desee probar) que, para cada polinomio $Q$, $Q(1/x)\,\mathrm e^{-1/x^2}\to0$ al $x\to0$.

Answer 2

El uso de la inducción y la regla de L'Hôpital basta probar que para cada $n\in\mathbb N$ $$ \lim_{x\to 0}\frac{~~e^{-\frac{1}{x^2}}~~}{x^n} ~=~ 0 $$ Podemos suponer que $n=2k$ es par, ya que si la aserción tiene por $n$ no lo $n-1$. Por lo tanto, la configuración de $t=\frac{1}{x^2}$ tenemos que demostrar que $$ \lim_{x\+\infty}\frac{~~t^n~~}{e^t} ~=~ 0 $$ La aplicación de $n$ veces la regla de L'Hôpital se han $$ \lim_{t\to +\infty}\frac{~~t^n~~}{e^t} ~=~ \lim_{t\to +\infty}\frac{~~n!~~}{e^t} ~=~ 0 $$

EDITAR

Como ya se ha comentado por @Hicieron la respuesta requiere un poco más de detalles; es decir, vamos a probar el siguiente

Si $h:\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ es una función tal que

• $h\in C^\infty(U_0\setminus\{0\})$ donde $U_0$ es un barrio de $0$;
• $\displaystyle{\lim_{x\to 0}\frac{h(x)}{x^n}=0}$ $~\forall n\geq 0$,

a continuación, $h$ ha derivadas de cualquier orden en $x=0$ y $h^{(n)}(0)=0$ $\forall n$.

Prueba. Primero vamos a comprobar la aserción de $n=1$: $$ h'(0) ~=~ \lim_{x\to 0} { \frac{h(x)-h(0)}{x} } ~=~ \lim_{x\to 0} { \frac{h(x)}{x} } ~=~ 0 $$ y las dos últimas igualdades mantenga para los supuestos en $h$. Ahora, vamos a usar la inducción. Supongamos $n\geq 1$, y que el reclamo es válido para cada $k\leq n$, es decir, que $h$ $0$ derivados de fin de a a $n$, y que $h^{(k)}(0)=0~$ $\forall k=0\ldots n$. Consideremos el siguiente límite: $$ \lim_{x\to 0} { \frac{h(x)}{x^{n+1}} } ~=~ 0 $$ Ya sabemos que existe y que $h$ derivados en $x=0$ $n$- th, la primera suposición, en $h$ hace posible el uso de la regla de L'Hôpital $n$ a veces, la reducción de la igualdad anterior a $$ \lim_{x\to 0} { \frac{h^{(n)}(x)}{(n+1)!x} } ~=~ 0 \quad\Rightarrow\quad \lim_{x\to 0} { \frac{h^{(n)}(x)}{x} } ~=~ 0 $$ Teniendo en cuenta la segunda igualdad, tenemos que $$ h^{(n+1)}(0) ~=~ \lim_{x\to 0} { \frac{h^{(n)}(x)-h^{(n)}(0)}{x} } ~=~ \lim_{x\to 0} { \frac{h^{(n)}(x)}{x} } ~=~ 0 $$ y esto completa la prueba.

Answer 3

Sugerencia: Demostrar por inducción que para $x\neq 0$ $g^{(n)}(x) = g(x)\frac{p_n(x)}{x^{3n}}$ para algunos polinomio $p_n$. A continuación, mostrar que como $$\lim_{x\to 0} g(x)\frac{p(x)}{x^{k}} =0$$ for any polynomial $p$ and any integer $k$.