Integral de cierre de $\mathbb{Z}$ $\mathbb{C}$ no es finitely generado como un $\mathbb{Z}$-módulo?

Question

Vamos

$$ \mathbb{Z}^{'}_{\mathbb{C}}=\{ z \in \mathbb{C} | \exists f \in \mathbb{Z}[X] \text{ monic such that } f(z)=0\} $$

ser la integral de cierre de $ \mathbb{Z} $$ \mathbb{C} $. Demostrar que $ \mathbb{Z}^{'}_{\mathbb{C}} $ no es finitely generado como un $ \mathbb{Z} $-módulo.

Mi intento: Supongamos $ \mathbb{Z}^{'}_{\mathbb{C}}=\mathbb{Z}\alpha_{1}+...+\mathbb{Z}\alpha_{n} $ algunos $ \{ \alpha_{i}\}_{i=\overline{1,n}} \subset \mathbb{Z}^{'}_{\mathbb{C}} $. Sé que dado $ \alpha , \beta \in \mathbb{Z}^{'}_{\mathbb{C}} $ con un mínimo de polinomios de grados $ m $ $ n $ respectivamente, entonces se puede construir una monic polinomio con coeficientes enteros $ P(z)=\prod(z-(\alpha_{i}+\beta_{j})) $ donde $ \alpha_{i},\beta_{j} $ son los conjugados de $\alpha $ , $\beta $ y por lo tanto el polinomio mínimo de a $ \alpha + \beta $ tiene el grado $ \leq mn $.

Estaba pensando que, a continuación, los grados de los polinomios mínimos de los elementos de $ \mathbb{Z}\alpha_{1}+...\mathbb{Z}\alpha_{n} $ podría ser de alguna manera delimitada por una cierta constante, mientras que $ \mathbb{Z}^{'}_{\mathbb{C}}$ contiene elementos cuyos grados de los polinomios mínimos son arbitrariamente grande, tome $ 2^{\frac{1}{n}} $$ n\geq 2$. Creo que esto funciona cuando se pide demostrar que el conjunto de todos los números algebraicos $ \overline{\mathbb{Q}} $ no es un finitely dimensional $\mathbb{Q}$-espacio vectorial, pero no sé cómo proceder en mi caso.

Realmente agradecería cualquier tipo de ideas, sugerencias o soluciones. Muchas gracias!

Answer 1

Considerar a cualquier candidato conjunto de los generadores $\alpha_1,\ldots, \alpha_n$. Entonces sabemos que el $\Bbb Q(\alpha_1,\ldots, \alpha_n)$ tiene un grado limitado por

$$M=1+\prod_{i=1}^n [\Bbb Q(\alpha(i):\Bbb Q]$$

Sin embargo, ninguna de prime $p>M+1$. A continuación, la primitiva $p^{th}$ raíz de $1$, $\zeta_p$ tiene el grado $\varphi(p)=p-1\ge M$, y sabemos que $\Bbb Z[\zeta_p]$ es un finitely generadas $\Bbb Z$ módulo de rango $p-1$$\Bbb Z[\alpha_1,\ldots, \alpha_n]$, lo que implica que el rango de $\Bbb Z[\alpha_1,\ldots, \alpha_n]$ es a la vez menor que y mayor que $M$, un contrdiction.

Answer 2

Aquí es una solución fácil: Suponga que el $\mathbb{Z}_\mathbb{C}^\prime$ es finitely generado como un $\mathbb{Z}$-módulo. Suponga que su rango es $m$, y deje $n>m$. El polinomio $f(x)=x^n-2$ es irreductible por el criterio de Eisenstein. Deje $\alpha$ ser una raíz de $f$ (por lo $\alpha,\alpha^2,\dotsc$$\mathbb{Z}_\mathbb{C}^\prime$.) Sabemos desde básico de la teoría de campo que $1,\alpha,\alpha^2,\dotsc,\alpha^{n-1}$ $\mathbb{Q}$- base para el campo $K(\alpha)$, considerada como una $K$-espacio vectorial, así que sin duda estos elementos son linealmente independientes sobre $\mathbb{Z}$ (cualquiera que no sea trivial $\mathbb{Z}$-combinación lineal de ellos es también una $\mathbb{Q}$-combinación lineal.) De ello se deduce que el rango de $\mathbb{Z}_\mathbb{C}^\prime$ al menos $n>m$, una contradicción.