Las ecuaciones diferenciales que también son funcionales

Question

Yo estaba jugando con ecuaciones del tipo $f(x+\alpha)=f'(x)$ donde $f$ es una función real. Por ejemplo, si $\alpha=\frac{\pi}{2}$, a continuación, las soluciones incluyen la función de $f_{\lambda,\mu}(x)=\lambda cos(x+\mu)$. Hay más soluciones?

Por otro lado, si quiero resolver la ecuación para cualquier $\alpha$, puedo asumir que una solución de la forma $f(x)=e^{\lambda x}$, y encontrar $\lambda$ como un número complejo que me permite resolver la ecuación...

Me preguntaba: es el conjunto de las soluciones de dimensión 2, ya que el operador de la derivada crea una dimensión y el operador $\phi: f(x)\mapsto f(x+1)$ agrega otro? Hay algunos literatura acerca de este tipo de ecuaciones?

Por favor satisfacer mi curiosidad si se puede... Gracias!

Answer 1

Este tipo de cosas es conocido como un retraso de la ecuación diferencial, y hay un montón y un montón de libros sobre este tema. Se llaman "retraso" porque la constante $\alpha$ suele ser elegido para ser negativo, de modo que $f'(x)$ depende de los valores de $f$ en épocas anteriores.

La ecuación de haber dado tiene un infinito de dimensiones del espacio de soluciones. En particular, si $g\colon [0,\alpha] \to \mathbb{R}$ es cualquier función suave de satisfacciones $g^{(n)}(\alpha) = g^{(n+1)}(0)$ todos los $n \geq 0$, entonces existe una única extensión de $g$ a una solución suave de $f$ definida en toda la recta real. Para $x \geq 0$, esta solución se define por $$ f(x) \;=\; g^{(n)}(x-n\alpha)\qquad\text{donde }n = \lfloor x/\alpha\rfloor. $$ mientras que para $x\leq 0$ implica las integrales iteradas de $g$.

Answer 2

Jim Belk la respuesta da una buena explicación del contexto general, pero pensé que podría agregar un inesperado ejemplo de una ecuación como esta surge en la teoría analítica de números.

(Una pequeña digresión, pero es muy interesante!)

Específicamente, un diferencial de retraso ecuación está en el corazón de la teoría de tratar con números enteros sin grandes factores primos.

Enteros sin grandes factores primos:

Deje $\psi(x,y)$ denotar el número de enteros $n\leq x$, cuyos factores primos se $\leq y$. Ejemplo: $\psi(20,4)= 10$ porque tenemos los números de $1,2,3,4,6,8,9,12,16,18$.

Deje $y=x^{\frac{1}{u}}$. Entonces podemos hacer la pregunta, ¿qué $\psi\left(x, x^{\frac{1}{u}}\right)$ verse como una función de $u$? Obtenemos un resultado sorprendente:

$$\psi(x, x^{\frac{1}{u}})=\rho(u)x+O\left(\frac{x}{\log x}\right)$$ where $\rho(u)$ satisfies the differential delay equation $$u \rho' (u)=\rho(u-1)$$ with the initial conditions $\rho(u)=1$ when $0\leq u\leq 1$. Esto se conoce como la Dickman De Bruijn función.

Hay algunos detalles delicados de qué rango de $u$ lo hace por encima de la espera, y ¿qué tan rápido puedo dejar $u$ ir hasta el infinito con $x$ y todavía tiene $\psi\left(x,x^{\frac{1}{u}}\right)\sim x\rho(u)$. Resulta que, las preguntas están relacionadas con el error en el teorema de los números primos, y podemos demostrar que (Hildebrand, 1984) asintótico sosteniendo de manera uniforme dentro de ciertos rangos de $u$ es equivalente a la Hipótesis de Riemann. Para un estudio de los resultados actuales con respecto a $\psi(x,y)$, ver Tenenbaum y Hildebrand del documento de 1993: Enteros sin grandes factores primos.

(Nota: he publicado una respuesta aquí acerca del Maier método de la Matriz. Yo pensaba que iba a agregar, que el Dickman-De-Bruijn función juega un papel importante en lo que Maier).

Answer 3

Tenga en cuenta que $f(x) = e^{\lambda x}$ es una solución de $f'(x) = f(x + \alpha)$ si $\lambda = e^{\lambda \alpha}$, y esta ecuación se satisface a través de una infinidad de complejos $\lambda$ si $\alpha \ne 0$, es decir, $\lambda = -w_n/\alpha$ donde $w_n$ son las ramas de ${\rm LambertW}(-\alpha)$.