Me parece no puede encontrar una contracción factor que $$Tx = \frac{x}{2}+\frac{1}{x}$$ is a contraction on the whole set $[1,\infty)$ in the complete normed space $(\mathbb{R}, |\cdot|)$.
Mi argumento para $x,y\in [1,\infty)$:
\begin{align} d(Tx, Ty) &= \left|\frac{x}{2}+\frac{1}{x} - (\frac{y}{2}+\frac{1}{y})\right| \newline \newline &= \left|\frac{x-y}{2}+\frac{1}{x} - \frac{1}{y} \right| \newline \newline &=\left|\frac{x-y}{2}+\frac{y-x}{xy} \right| \newline \newline &\leq\left|\frac{x-y}{2}\right| +\left|\frac{x-y}{xy} \right| \newline \newline &\leq\left|\frac{x-y}{2}\right| +\left|\frac{x-y}{2} \right|,\quad \forall x,y \geq \sqrt{2} \newline \newline &=\frac{1}{2}|x-y| +\frac{1}{2}|x-y| \newline \newline &= |x-y|. \end{align}
Por lo tanto, la restricción de la $T$ $[\sqrt{2},\infty)$rendimientos no expansiva de la asignación. $T$ también tiene un punto fijo en $x=\sqrt{2}$. Sin embargo, el libro en el que el ejercicio se encuentran los estados que $T$ es una contracción con una mínima contracción factor de $\lambda \in [0,1)$. Puedo tomar mejor las estimaciones muestran que $T$ es una contracción en $[1,\infty)$?
