Teoremas de la circunferencia (geometría)

Question

Yo era el estudio de la circunferencia y los teoremas de que en mi libro. Hay dos teoremas que quería demostrar, pero, cuando lo hice, que de alguna manera me ha decepcionado, y me gustaría saber cómo lo había probarlo, si me necesitas para dar mi demostración de su ok, pero yo no, creo Que se ha demostrado en otras maneras, pero no sé cómo. Enfermos muestran en las fotos.

Id gustaría saber cómo demostrar el teorema que dice que si tengo una línea tangente que toca a la circunferencia en a $P$, es perpendicular al radio de la trazada desde el centro de ese punto $P$.

Gracias de antemano.

Answer 1

Ver la figura adjunta.

El primer resultado puede ser probado en el segundo resultado. En particular, si $\angle BAC =180^o$$\angle BDC =90^o$. La prueba de la segunda consecuencia es muy simple.

En la figura, $\triangle ABD$ es isósceles. Por lo tanto, $$\angle ABD = \angle ADB = \alpha.$$Also, $\triángulo ACD$ is isosceles. Consequently, $$\angle ACD = \angle ADC = \beta.$$ Más, $$\angle BAD = 180^\circ - 2\alpha,$$and $$\angle BAE = 180^\circ - \angle BAD = 2\alpha.$$ Asimismo, $$\angle EAC = 2 \beta.$$ Por lo tanto, $$\angle BAC = 2 \alpha + 2\beta = 2(\alpha + \beta)=2\angle BDC.$$

Con respecto a la tangente de la línea de resultado, te doy una pista. Un segmento de línea trazada a partir de un punto (centro de la circunferencia en su caso) a una línea (la línea tangente en su caso) tiene la longitud más corta cuando el segmento es perpendicular a la línea.

Answer 2

Para una prueba directa de que el primer problema (sin usar el segundo resultado), vamos a $E$ ser la intersección de $DA$ con el círculo. A continuación, $\,BECD\,$ es un paralelogramo desde la diagonal biseca $\,AD=AE=R$, $AB=AC=R\,$ donde $\,R\,$ es el radio del círculo, y es en realidad un rectángulo desde $\,BC=DE=2R\,$ y un paralelogramo cuyas diagonales son iguales es un rectángulo.

(Para demostrar que un paralelogramo con la igualdad de las diagonales es un rectángulo, si no obvio, muestran que, por ejemplo, $\,\triangle DBE \equiv \triangle BDC\,$ como tener todos los pares de lados iguales, lo que implica $\,\angle DBE = \angle BDC\,$, pero en el otro lado $\,\angle DBE + \angle BDC = 180^\circ\,$ como ángulos interiores consecutivos de un paralelogramo.)