Demostrar que el producto de dos números naturales consecutivos es nunca un cuadrado.

Question

Me gustaría tener mi prueba verificada y si es posible, para ver otras soluciones que son interesantes.

Prueba: Supongamos $n(n+1)$ es un cuadrado. Luego de escribir $$n(n+1) = \prod_{p} p^{c(p)}$$ donde $c(p) = a(p) + b(p)$ son tales que \begin{align*} n &= \prod_p p^{a(p)} \\ n+1 &= \prod_p p^{b(p)} \end{align*} Ahora, por nuestra hipótesis, $c(p)$ es para todos los números primos $p$. Como $(n,n+1)=1$ todos los $n$, $a(p)$ $b(p)$ son para todos los números primos $p$ y por otra parte, $a(p) = 0$ siempre $b(p)>0$, y a la inversa.

Esto indica que tanto $n$ $n+1$ son cuadrados. Esto es imposible ya que no hay consecutivos cuadrados de los números naturales.

Answer 1

$$ n^2<n(n+1)<(n+1)^2 $$

Eso es todo :)

No hay ningún número entero entre $n$$n+1$.

Answer 2

Esto está bien si $n=0$ no está permitido (y si $n=0$ es permitido que la demanda se convierte en mal. Como pedir pruebas alternas, ¿qué se puede ver a partir de esta desigualdad: $$ n^2<n^2+n<n^2+2n+1$$

Answer 3

Parece que esto puede ser la misma prueba como el OP, pero aquí es cómo me gustaría escribir:

Deje $n$ $n+1$ ser consecutivos de números naturales. Tenga en cuenta que deben tener distinto primer factorizations. I. e. si $p|n$,$p \nmid (n+1)$.

Para $n(n+1)$ a ser un cuadrado perfecto, entonces el poder en cada prime en su descomposición debe ser par. Sin embargo, desde la $n$ $n+1$ han desunido primer descomposición, entonces esto sólo es posible si la energía en cada prime en la descomposición de la $n$ es incluso, y de manera similar para $n+1$. Esto implicaría que tanto $n$ $n+1$ son cuadrados perfectos, lo cual es imposible puesto que no hay dos consecutivos naturales pueden ser cuadrados perfectos.

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Por supuesto, esta prueba es mucho más torpe que Hagen y Oleg.