Como André Nicolas dice en su comentario, puede ser difícil. No creo que uno puede llegar muy lejos a menos que los estudiantes tengan alguna intuición para polinómica de la división, que, en mi experiencia, no es siempre el caso entre el cálculo de los estudiantes.
Si se puede asumir que a sus alumnos a comprender la idea de que, para polinomios $F(x)$ $G(x),$
$$
\frac{F(x)}{G(x)}=Q(x)+\frac{R(x)}{G(x)}
$$
donde polinomios $Q(x)$ $R(x)$ son el cociente y el resto, el último de los cuales satisface $\deg(R(x))<\deg(G(x)),$, entonces usted puede decirles que, puesto que los polinomios son fáciles de integrar, sólo necesitamos que preocuparse acerca de cómo integrar el segundo término, es decir, una fracción en la que el grado del numerador es menor que el grado del denominador.
El trato con el caso en que el denominador es una potencia de un binomio es entonces no es tan malo. En particular, podemos responder a su pregunta acerca de por qué no es $x$ conectado a la $B$ en el primer ejemplo. La razón es que, si hubo un $x$ plazo, que podría ser eliminado, como en el siguiente ejemplo:
$$
\frac{2x+7}{(x+3)^2}=\frac{2(x+3)+7-2\cdot3}{(x+3)^2}=\frac{2(x+3)+1}{(x+3)^2}=\frac{2}{x+3}+\frac{1}{(x+3)^2}.
$$
De manera más general, cuando el denominador es un binomio elevado a una potencia mayor que $2,$ todos los no-constante de los términos en el numerador puede ser eliminado:
$$
\begin{aligned}
\frac{4x^2+2x+7}{(x+3)^3}&=\frac{4(x+3)^2-4(6x+9)+2x+7}{(x+3)^3}=\frac{4(x+3)^2-22x-29}{(x+3)^3}\\
&=\frac{4(x+3)^2-22(x+3)+22\cdot3-29}{(x+3)^3}=\frac{4(x+3)^2-22(x+3)+37}{(x+3)^3}\\
&=\frac{4}{x+3}-\frac{22}{(x+3)^2}+\frac{37}{(x+3)^2}.
\end{aligned}
$$
Esencialmente estamos haciendo un cambio de variable de $x$ $u=x+3,$y utilizando el hecho de que un polinomio en $x$ es un polinomio en a $u$ el mismo grado, para llegar a esta conclusión.
El caso en que el denominador es el producto de diferentes binomios se entiende mejor por la primera va en la dirección opuesta:
$$
\frac{5}{x+2}+\frac{4}{x+3}=\frac{5(x+3)+4(x+2)}{(x+2)(x+3)}=\frac{9x+23}{(x+2)(x+3)}.
$$
El método de fracciones parciales se entiende, entonces, como el proceso de dar al traste con este cálculo. Esto siempre es posible debido a que la resultante par de ecuaciones lineales siempre tiene una solución única. Esto es una consecuencia de la suposición de que los dos binomios en el denominador son diferentes (más precisamente, que no son constantes los múltiplos de cada uno de los otros).
Los estudiantes también tienen que entender que una ecuación cuadrática denominador no siempre pueden ser factorizados sobre los reales. (Por ejemplo, $x^2+x+1.$) por lo tanto, tiene que ser capaz de lidiar con numeradores hasta grado $1.$ Usted puede, a continuación, mostrar cómo fracciones con grado de $2$ $1$ denominadores llegar a poner juntos:
$$
\frac{2x+3}{x^2+x+1}+\frac{4}{x+2}=\frac{(2x+3)(x+2)+4(x^2+x+1)}{(x^2+x+1)(x+2)}=\frac{6x^2+11x+10}{(x^2+x+1)(x+2)}.
$$
Parcial de las fracciones es el método para revertir este proceso. De nuevo implica resolver un sistema de ecuaciones lineales que está garantizado para tener una solución única (suponiendo que el denominador no tienen factores comunes). Demostrando esto implica álgebra y álgebra lineal, un conocimiento que es, probablemente, más allá de la mayoría de primer año de cálculo estudiantes. Pero este ejemplo muestra que, en general, el $x$ en el numerador de la pasada temporada en su primer ejemplo es necesario.
Otro resultado clave necesarios para una completa comprensión es que cualquier polinomio con coeficientes reales pueden ser factorizados en grado $1$ e irreducible de grado $2$ factores. Para probar esto requiere el conocimiento que va un poco más allá del primer año de cálculo.
