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Tratando de entender Hilbert función de Joe Harris de la Geometría Algebraica

Deje $X \subset {\bf P}^d$ ser racionales de la curva normal. $X$ se define como la imagen del mapa $v_d : {\bf P}^1 \to {\bf P}^d$ $$[a:b] \to [a^d:a^{d-1}b:\dots:ab^{d-1}:b^d].$$ El mapa de $v_d$ induce un mapa de $v_d^*:k[z_0,...,z_d] \to k[x_0,x_1]$ mediante el establecimiento $z_i \to x_0^{d-i}x_1^i$, por lo tanto, el mapa de $v_d^*$ cada polinomio homogéneo de grado $m$ se asigna a un polinomio homogéneo de grado $md$$k[x_0,x_1]$.

A continuación, en el libro "la Geometría Algebraica" de Joe Harris el siguiente argumento está escrito que yo soy incapaz de entender:

Bajo el mapa de $v_d$ los polinomios homogéneos de grado $m$ en el anillo de coordenadas $[z_0:\dots:z_d]$ ${\bf P}^d$ tire hacia atrás para dar a todos los polinomios homogéneos de grado $md$ en el anillo de coordenadas $[x_0:x_1]$${\bf P}^1$. Por lo tanto, $$\left(\frac {k[z_0,\dots,z_d]}{I(X)}\right)_m\simeq k[x_0,x_1]_{md}.$$

Alguien puede explicar a mí el argumento de arriba, por favor?

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samb Puntos 475

Esto es realmente un ejercicio de aplicar el algoritmo de la división en $\mathbb Z$.

Escoge un monomio de grado $md$$k[x_0,x_1]$, decir $x_0^ax_1^b$$a+b=md$. A continuación, expresar $a=dk+r$$0\leq r<d$$b=dk'+r'$$0\leq r'<d$.

A continuación,$0\leq r+r'<2d$$r+r'=a-dk+b-dk'=d(m-k-k')$, lo que provoca $r+r'$ ser $d$ o $0$.

A continuación, $z_0^k$ mapas para $x_0^{dk}$, $z_d^{k'} $ los mapas de a $x_1^{dk'}$ $z_{r'}$ mapas a $x_0^rx_1^{r'}$ bajo el mapa de $v^*_d$. Poner esto juntos, $z_0^kz_d^{k'}z_{r'}$ mapas a $x_0^ax_1^b $. Finalmente, el grado del monomio $z_0^kz_d^{k'}z_{r'}$ $k+k'+1=\frac{dk+dk'+d}{d}=\frac{dk+dk'+r+r'}{d}=\frac{a+b}{d}=m$ como se requiere.

Por lo que el mapa de $v^*_d$ es surjective en la reivindicada homogénea de los componentes. Puede usted ver por qué el núcleo de este mapa es exactamente $I(X)$?

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