¿Cómo probar esto $ \alpha + \beta + \gamma =n \pi $

Question

deja $ \theta\in R$ y $ \alpha\neq\beta\neq\gamma $ y tal $$ \dfrac { \cos {( \alpha + \theta )}}{ \sin ^3{ \alpha }}= \dfrac { \cos {( \beta + \theta )}}{ \sin ^3{ \beta }}= \dfrac { \cos {( \gamma + \theta )}}{ \sin ^3{ \gamma }}$$

probar $$ \alpha + \beta + \gamma =n \pi $$

Mi intento: dejar $$ \dfrac { \cos {( \alpha + \theta )}}{ \sin ^3{ \alpha }}= \dfrac { \cos {( \beta + \theta )}}{ \sin ^3{ \beta }}= \dfrac { \cos {( \gamma + \theta )}}{ \sin ^3{ \gamma }}=k$$ entonces $$ \cos {( \alpha + \theta )}=k \sin ^3{ \alpha }, \quad \cos {( \beta + \theta )}=k \sin ^3{ \beta }, \quad\cos {( \gamma + \theta )}=k \sin ^3{ \gamma }$$ así que $$ \cos {( \alpha - \beta )}= \cos {[( \alpha + \theta )-( \beta + \theta )]}= \cos {( \alpha + \theta )} \cos {( \beta + \theta )}+ \sin {( \alpha + \theta )} \sin {( \beta + \theta )}$$ y seguir tal vez no pueda funcionar. Gracias.

Answer 1

Dejemos que las proporciones sean $=k$

$$ \implies\cos ( \alpha + \theta )=k \sin ^3 \alpha $$

$$ \implies\cos\alpha\cos\theta - \sin\alpha\sin\theta =k \sin ^3 \alpha $$

Dividiendo cada lado por $ \cos\alpha ,$

$$ \cos\theta - \tan\alpha\sin\theta =k \tan\alpha\sin ^2 \alpha = \frac {k \tan\alpha }{ \csc ^2 \alpha }= \frac {k \tan\alpha }{1+ \cot ^2 \alpha }$$

$$ \implies \cos\theta - \tan\alpha\sin\theta = \frac {k \tan ^3 \alpha }{1+ \tan ^2 \alpha } $$

Reacomodar para formar una ecuación cúbica en $ \tan\alpha ,$

$$ \displaystyle (k+ \sin\theta ) \tan ^3 \alpha - \cos\theta\tan ^2 \alpha + \sin\theta \tan\alpha - \cos\theta =0$$

Obsérvese que $ \tan\beta , \tan\gamma $ también satisfacen la ecuación cúbica

$ \displaystyle\implies \tan\alpha , \tan\beta , \tan\gamma $ son las raíces de $$ \displaystyle (k+ \sin\theta )t^3-t^2 \cos\theta +t \sin\theta - \cos\theta =0$$

Usando Las fórmulas de Vieta ,

$ \displaystyle\tan\alpha + \tan\beta + \tan\gamma = \frac { \cos\theta }{k+ \sin\theta }$ y $ \displaystyle\tan\alpha\tan\beta\tan\gamma = \frac { \cos\theta }{k+ \sin\theta }$

$ \displaystyle\implies\sum\tan\alpha = \prod\tan\alpha $

Ahora sabemos este

Answer 2

La pregunta tal como está escrita permite la solución $ \beta = \alpha + m \pi $ y $ \gamma = \alpha + n \pi $ para números enteros distintos de cero $m \neq n$ y cualquier $ \alpha \neq k \pi $ . A continuación, descartaré esta solución.

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Escriba $$a := e^{2i \alpha } \qquad b := e^{2i \beta } \qquad c := e^{2i \gamma } \qquad t := e^{2i \theta }$$ Presumiblemente, los senos de los ángulos $ \alpha $ , $ \beta $ , $ \gamma $ no son cero, así que tenemos $a \neq 1$ (así como para $b$ y $c$ ). También asumiremos $a$ , $b$ , $c$ para ser distintos (para evitar la solución en el preámbulo).

Entonces invocando las fórmulas $ \cos x = \frac {1}{2} \left ( e^{ix} + e^{-ix} \right )$ y $ \sin x = \frac {1}{2i} \left ( e^{ix} - e^{-ix} \right )$ la ecuación inicial se convierte (después de alguna cancelación) $$ \frac {a \left ( a t + 1 \right )}{ \left ( a - 1 \right )^3} = \frac {b \left ( b t + 1 \right )}{ \left ( b - 1 \right )^3} = \frac {c \left ( c t + 1 \right )}{ \left ( c - 1 \right )^3}$$

La primera igualdad (con $a \neq b$ ) y la segunda igualdad (con $b \neq c$ ) implican, $$ \frac {- 1 + 3 a b - a^2 b - a b^2}{a + b - 3 a b + a^2 b^2} = t = \frac {- 1 + 3 b c - b^2 c - b c^2}{b + c - 3 b c + b^2 c^2}$$ Ignorando $t$ (y asumiendo $c \neq a$ ), esto da $$1 = a b c = e^{2i( \alpha + \beta + \gamma )}$$ para que $$ \alpha + \beta + \gamma = n \pi $$