Mostrar que $\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}$ no es anillo isomorfo a $\mathbb{C}$.

Question

Mostrar que $\mathbb{R}\oplus\mathbb{R}$ no es anillo isomorfo a $\mathbb{C}$.

Este es mi primer álgebra abstracta de la clase y por lo tanto, si la explicación podría ser tan simple como sea posible, que sería muy apreciado. Yo aún no saben cómo abordar este problema.

Answer 1

• Trivial directa sumas siempre tiene divisores de cero, y $\mathbb C$ no.
• $\mathbb C$ tiene otras propiedades algebraicas que $\mathbb R\oplus \mathbb R$ no tiene, como la existencia de soluciones de ecuaciones polinómicas, que se conservarán en el anillo de isomorfismo. Por ejemplo, $\mathbb R\oplus \mathbb R$ no tiene ningún elemento cuyo cuadrado es $(-1,-1)$, mientras que el $z^2=-1$ tiene soluciones en $\mathbb C$.