Los residuos de $f(z)=\frac{z}{sin(\frac{\pi}{z+1})}$ en todas las singularidades aisladas

Question

Tengo esta función compleja: $$f(z)=\frac{z}{\sin\left(\frac{\pi}{z+1}\right)}$$ Me gustaría calcular los residuos en todos aislar las singularidades. Si no me equivoco $f$ tiene polos en $z=\frac{1}{k}-1$ y no aislado de la singularidad en $z=-1$, porque es un punto de acumulación de polos. He tratado de hacer algo similar a esta respuesta, pero me parece que no consigue una limpieza expresión en términos de $\xi$, donde $\xi$ es $z-\frac{1}{k}+1$. Lo mejor que puedo obtener es este:

$$\frac{z}{\sin\left(\frac{k\xi+1-k}{k\xi+1}\right)}$$

Me pueden ayudar?

Answer 1

Deje $f(z)=\sin\left(\frac\pi{z+1}\right)$. Entonces$$f'(z)=-\frac{\pi\cos\left(\frac\pi{z+1}\right)}{(z+1)^2}$$and therefore$$f'\left(\frac1k-1\right)=(-1)^{k-1}k^2\pi.$$So,$$\operatorname{res}_{z=\frac1k-1}\left(\frac z{\sin\left(\frac\pi{z+1}\right)}\right)=\frac{\frac1k-1}{(-1)^{k-1}k^2\pi}=(-1)^{k-1}\frac{1-k}{k^3\pi}.$$