Espectro de $\mathbb{Z}^\mathbb{N}$

Question

Se sabe algo de el espectro de la $\mathbb{Z}^{\mathbb{N}}$? Observe que la fibra de $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z}^{\mathbb{N}}) \to \mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$ a un valor distinto de cero el primer ideal $(p)$ es el espectro de $\mathbb{Z}^{\mathbb{N}}/(p) \cong \mathbb{F}_p^{\mathbb{N}}$, lo que corresponde a$^1$ para el conjunto de ultrafilters en $\mathbb{N}$. Por lo tanto sólo tenemos que mirar a los genéricos de la fibra, que es el espectro de la se $\mathbb{Q}$-álgebra $\mathbb{Z}^{\mathbb{N}} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}$. Este es isomorfo a una subalgebra de $\mathbb{Q}^{\mathbb{N}}$ consta de las secuencias de los números racionales cuyos denominadores son limitados (con respecto a la adecuada (no cualquiera) representaciones de fracciones). En particular, cada ultrafilter en $\mathbb{N}$ induce un primer ideal de $\mathbb{Z}^{\mathbb{N}} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}$, pero no todo el mundo se plantea como este.

$^1$Si $(F_i)_{i \in I}$ es de la familia de campos, entonces no es un bijection entre la (ultra)filtros en $I$ y el (primer) de los ideales de la $\prod_{i \in I} F_i$. Se asigna un filtro de $\mathcal{U}$ del ideal,$\{x \in \prod_{i \in I} F_i : \{i \in I : x_i = 0\} \in \mathcal{U}\}$.

Answer 1

Ampliando mi comentario, permítanme decir algunas cosas acerca de la $X=\operatorname{Spec}(\mathbb{Z}^\mathbb{N})$. Hay una natural mapa continuo $X\to\beta\mathbb{N}$, el envío de un alojamiento ideal para el control de ultrafilter determinado por el idempotents que contiene. Fijemos un ultrafilter $U\in\beta\mathbb{N}$ y el estudio de la fibra de $X$$U$. Esta fibra puede ser identificado con $\operatorname{Spec} \prod_U\mathbb{Z}$ donde $\prod_U \mathbb{Z}$ es el ultrapower de $\mathbb{Z}$ por el ultrafilter $U$. Al $U$ que es lo principal, el ultrapower es sólo $\mathbb{Z}$, por lo que sólo tenemos una copia de $\operatorname{Spec}(\mathbb{Z})$.

A partir de ahora, supongamos $U$ es nonprincipal, y escribir $^*\mathbb{Z}=\prod_U\mathbb{Z}$ (como en el análisis no estándar). Podemos decir mucho sobre el ring $^*\mathbb{Z}$ con el hecho de que es elementarily equivalente a $\mathbb{Z}$. En primer lugar, es un Bezout de dominio. Hay una canónica de orden total en $^*\mathbb{Z}$; se denota el no negativo elementos por $^*\mathbb{N}$. Dado que las únicas unidades en $^*\mathbb{Z}$$\pm 1$, cada director ideal de $^*\mathbb{Z}$ es generado por un elemento único de la $^*\mathbb{N}$.

Hay una cantidad no numerable de elementos principales $p\in{}^*\mathbb{N}$, y cada uno de ellos genera un ideal maximal de a $^*\mathbb{Z}$ (si $p$ está representado por $(p_n)\in\mathbb{Z}^\mathbb{N}$, $U$- casi todos los de la $p_n$ es de los primeros números enteros, y el residuo de campo $^*\mathbb{Z}/p$, naturalmente, puede ser identificado con el ultraproduct $\prod_U\mathbb{Z}/p_n$). Además, tenemos una especie de "hyperfinite factorización prima": cada valor distinto de cero $n\in{}^*\mathbb{N}$ puede escribirse de forma única como un "producto" $\prod_{i=1}^N p_i^{M_i}$. Aquí $N\in{}^*\mathbb{N}$, cada una de las $M_i\in {}^*\mathbb{N}$, y el $p_i$ son una colección de números primos de $^*\mathbb{N}$, en orden creciente (de este "producto" debe interpretarse como una operación realizada en cada coordenada de $\mathbb{Z}^\mathbb{N}$; en cada coordenada, es sólo un número finito de producto).

Ahora vamos a $\mathbb{P}$ denota el conjunto de números primos de $^{*}\mathbb{N}$. Deje $\mathcal{B}$ indican el operador Booleano rng (es decir, el álgebra Booleana sin unidad) de la acotada interna de subconjuntos de a $\mathbb{P}$ ("interna" en el sentido del análisis no estándar). Para distinto de cero $n\in {}^*\mathbb{Z}$, vamos a $V(n)\in\mathcal{B}$ denota el conjunto de números primos dividiendo $n$. Si $I\subset{}^*\mathbb{Z}$ es un ideal, el conjunto de $V(I)=\{V(n):n\in I\setminus\{0\}\}$ es un filtro en $\mathcal{B}$. Si $I$ es primo, no es difícil ver que $V(I)$ es un ultrafilter (aquí una ultrafilter significa que si $A\cup B$ está en el filtro, a continuación, cualquiera de las $A$ o $B$ está en el filtro; estos son en bijection con ultrafilters en la unificación de $\mathcal{B}$).

Por el contrario, si $F$ es cualquier filtro en $\mathcal{B}$, $I(F)=\{n:V(n)\in F\}\cup\{0\}$ es un ideal tal que $V(I(F))=F$. Si $F$ es un vacío ultrafilter, es fácil ver que, de hecho, $I(F)$ es un ideal maximal, y que las operaciones de las $V$ $I$ son inversas para la máxima ideales y no vacío ultrafilters. Por lo tanto la conclusión de que no es un bijection entre la máxima ideales en $^*\mathbb{Z}$ y no vacío ultrafilters en $\mathcal{B}$. Además, $I(\emptyset)=0$ es también una excelente ideal.

También podemos describir la topología en $\operatorname{MaxSpec}(^*\mathbb{Z})$: los conjuntos cerrados son generados por los conjuntos de $C_A=\{I:A\in V(I)\}$$A\in\mathcal{B}$. Es decir, la identificación ultrafilters Booleanos homomorphisms $\mathcal{B}\to\{0,1\}$, $\operatorname{MaxSpec}(^*\mathbb{Z})$ es topologized como un subconjunto de a $\{0,1\}^\mathcal{B}$ donde $\{0,1\}$ es topologized de tal manera que sólo $1$ es cerrado. (Tenga en cuenta que cuando se $U$ que es lo principal, $\mathbb{P}$ es sólo el ordinario de los números primos, $\mathcal{B}$ es el finito subconjuntos de a $\mathbb{P}$, cada vacío de ultrafilter que es lo principal, y esto describe exactamente el familiar cofinite la topología en $\operatorname{MaxSpec}(\mathbb{Z})$.)

Veamos ahora más en general el primer ideales. Si $I\subset{}^*\mathbb{Z}$ es un alojamiento ideal, a continuación, $V(I)$ es un ultrafilter. Si $V(I)$ está vacía, entonces $I=0$; de lo contrario, $I(V(I))$ es el único ideal maximal que contiene a $I$.

Dado cualquier vacío de ultrafilter $F\subset\mathcal{B}$, hay muchos que no la máxima primos contenidos en $I(F)$. Por ejemplo, si $H\subset {}^*\mathbb{N}$ es un segmento inicial cerrado bajo la suma, entonces el conjunto de $n\in{}^*\mathbb{Z}$ tales $\{p\in\mathbb{P}:p^h\mid n\text{ for all }h\in H\}\in F$ es un alojamiento ideal $I(F,H)$$I(F)$. Estos primos ideales son distintos para distintos $H$, y son totalmente ordenado en el orden inverso de la $H$. Hay una cantidad no numerable de tal $H$, por lo que esto le da un canónica innumerable cadena de números primos dentro de cada ideal maximal de a ${}^*\mathbb{Z}$. Si $F$ es una de las principales ultrafilter (por lo que el ideal maximal $I(F)$ es sólo generados por algunas de las $p\in\mathbb{P}$), es fácil ver que cada primer contenida en $I(F)$ es de esta forma, así, en particular, la de los números primos por debajo de $I(F)$ son totalmente ordenado. Al $F$ no es principal, no estoy seguro de si hay otros números primos por debajo de $I(F)$ además de estos. (Por ejemplo, usted podría tratar de dejar el $H$ puede variar para los diferentes puntos de $\mathbb{P}$, pero tal vez eso sólo te hace acabar con $I(F,H')$ donde $H'$ es algún tipo de límite de la $H$s con respecto a la ultrafilter $F$...pero esto es complicado para pensar, porque $F$ no es en realidad un ultrafilter en $\mathbb{P}$, sólo en el interior de los subconjuntos de a $\mathbb{P}$...y luego está la complicación adicional de que para $A\in F$, no todas las funciones $A\to{}^*\mathbb{N}$ puede corresponder a la factorización en primos de un número, sólo las funciones que se interna puede...)

Answer 2

Aquí es un comentario sobre el primer bit de Eric Wofsey la respuesta, es decir, el natural mapa $X \to \beta \mathbb{N}$. $\beta \mathbb{N}$ es, en un sentido preciso, el "espacio de los componentes conectados" de $X$, como sigue. Hay un functor $\text{CRing} \to \text{Set}$ el envío de un anillo conmutativo $R$ para el conjunto de idempotents en $R$. Este functor naturalmente ascensores Booleano anillos: el conjunto de idempotents adquiere un valor Booleano anillo de la estructura a través de la usual de la multiplicación con el modificado, además de

$$a +' b = a + b - 2ab.$$

(Esto se reduce a la habitual, además de si $R$ tiene características de las $2$, pero no en general). Voy a llamar a este anillo de $B(R)$. El espectro de $B(R)$ en el sentido de la dualidad de Piedra es una Piedra de un espacio llamado Pierce espectro de $R$, y así tomar Pierce espectros da un functor de afín a los esquemas de Piedra espacios.

Dado cualquier prime ideal $P$$R$, el homomorphism $R \to R/P$ induce un homomorphism $B(R) \to B(R/P)$, pero desde $R/P$ es una parte integral de dominio, $B(R/P) \cong \mathbb{F}_2$, y por lo tanto tenemos un homomorphism $B(R) \to \mathbb{F}_2$, o lo que es equivalente a un punto en el que Pierce espectro. Esto le da un mapa continuo natural

$$\text{Spec } R \to \text{Spec } B(R).$$

Ahora, ¿por qué es natural pensar de $\text{Spec } B(R)$ como el espacio de los componentes conectados? El functor $B(R)$ es representable por la libre conmutativa anillo en un idempotente, es decir,

$$\mathbb{Z}[x]/(x^2 - x) \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}.$$

La correspondiente afín esquema de "dos puntos" $\text{Spec } \mathbb{Z} \coprod \text{Spec } \mathbb{Z}$. Esta es, naturalmente, un anillo Booleano objeto en la categoría de afín esquemas (true más general, para el subproducto $1 \coprod 1$ de dos copias de la terminal de objeto en cualquier distributiva de la categoría), y lo de los mapas en forma natural forma un anillo Booleano, que es sólo $B(R)$. El análogo de la construcción de espacios topológicos produce para cada espacio de $X$ Piedra natural espacio de $S(X)$ natural y un mapa continuo $X \to S(X)$ cuyas fibras (creo) están conectados. Tal vez es la izquierda adjunto a la inclusión de Piedra espacios en los espacios?

A partir de aquí no es difícil ver que el Pierce espectro de cualquier producto infinito $\prod_{i \in \mathbb{N}} D_i$ de los conectados a los anillos es $\beta \mathbb{N}$.