límite de una secuencia cuyos términos siguen una relación de recurrencia?

Question

Dejemos que $x_0=a,x_1=b$ y para $n\geq 0$ , $$3x_{n+2}=x_n+2x_{n+1}$$ entonces qué es $\lim_{n\to \infty}x_n$ ? Por favor si alguien puede ayudar?

Answer 1

Reescribiendo la recurrencia, tenemos:

$x_{n} = \frac{2}{3}x_{n-1}+\frac{1}{3}x_{n-2}$ que tiene el polinomio característico asociado:

$x^2-\frac{2}{3}x-\frac{1}{3}=0$ que factores como $(x-1)(x+\frac{1}{3})=0$

Esto implica que la forma cerrada debe ser así:

$x_n = \alpha (1)^n + \beta(-\frac{1}{3})^n$ para algunas constantes $\alpha$ y $\beta$ a determinar a partir de las condiciones iniciales.

Esto implica que como $n\to\infty$ tienes $x_n\to \alpha$ como el segundo término de la derecha $\beta(-\frac{1}{3})^n$ tiende a cero a medida que $n$ se hace grande.

Dada una situación inicial $x_0=a$ y $x_1=b$ , intente resolver para $\alpha$ mediante un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas.

$\begin{cases}x_0=a=\alpha + \beta\\ x_1=b=\alpha-\frac{1}{3}\beta\end{cases}$

A continuación, se puede expresar el límite $x_n\to\alpha$ como alguna función de $a$ y $b$ .

La primera línea más el triple de la segunda da como resultado $a+3b = 4\alpha$ Así que $\alpha = \frac{a+3b}{4}$