$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{e^n\sqrt{n}}\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{n^k}{k!}|n-k|=\sqrt{2/\pi}$$ Es este límite es verdad? Me debe mostrar el límite es cierto. Es permitido el uso de programas de ordenador para encontrar este límite. Gracias por su ayuda...
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MrTuttle
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Dividir la serie en $k = n$:
\begin{align} \sum_{k=0}^\infty \frac{n^k}{k!}\lvert n-k\rvert &= \sum_{k=0}^n \frac{n^k}{k!}(n-k) + \sum_{k=n+1}^\infty \frac{n^k}{k!}(k-n)\\ &= \sum_{k=0}^n\frac{n^{k+1}}{k!} - \sum_{k=1}^n \frac{n^k}{(k-1)!} + \sum_{k=n+1}^\infty \frac{n^k}{(k-1)!} - \sum_{k=n+1}^\infty \frac{n^{k+1}}{k!}\\ &= \sum_{k=0}^n \frac{n^{k+1}}{k!} - \sum_{k=0}^{n-1} \frac{n^{k+1}}{k!} + \sum_{k=n}^\infty \frac{n^{k+1}}{k!} - \sum_{k=n+1}^\infty \frac{n^{k+1}}{k!}\\ &= 2\frac{n^{n+1}}{n!}. \end{align}
Así que usted está buscando
$$\lim_{n\to\infty} \frac{2n^{n+\frac{1}{2}}}{n!e^n}.$$
Ahora recuerdo o buscar la fórmula de Stirling.
Esta pregunta tiene una buena probabilística de la interpretación. Dado que el $X$ es una distribución de Poisson con parámetro de $\lambda=n$, estamos esencialmente calcular el valor esperado de la diferencia absoluta entre el $X$ y su media de $n$. El teorema del límite central que da ese $Y\sim N(n,n)$ (una distribución normal con media y varianza igual a $n$) es una excelente aproximación de la distribución para grandes valores de $n$, por lo tanto: $$\begin{eqnarray*}\frac{1}{e^n \sqrt{n}}\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{n^k}{k!}|n-k|&\approx&\frac{1}{\sqrt{n}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi n}}\int_{-\infty}^{+\infty}|x-n|\exp\left(-\frac{(x-n)^2}{2n}\right)\,dx\\&=&\frac{2}{n\sqrt{2\pi}}\int_{0}^{+\infty}x\exp\left(-\frac{x^2}{2n}\right)\,dx\\&=&\color{red}{\sqrt{\frac{2}{\pi}}},\end{eqnarray*}$$ así que el límite no es cero.
