La combinatoria de la tarea

Question

Aquí hay una pregunta de mi tarea. 2 primeras preguntas he resuelto (pero agradecería cualquier entrada que se puede dar en mi solución) y la última pregunta que me estoy completamente perplejo. Es bastante complicado.

En la estantería hay 5 libros de matemáticas, 3 libros de ciencia-ficción y 2 thrillers (todos los libros son diferentes)

1) ¿cuántas combinaciones diferentes puede organizar los libros en el estante, sin ningún tipo de limitación? **Mi respuesta: $10!$ ya que todos los libros son diferentes, es sólo la organización de 10 libros.

2) ¿En cuántas combinaciones diferentes puede organizar los libros por lo que los libros de la misma especie están uno al lado del otro? **Mi respuesta: $3!*5!*3!*2!$ - primer imaginar todos los libros de matemáticas están a sólo 1 cuadra, todo el sci fi de los libros son de 1 bloque, y que el 2 de thrillers son a 1 cuadra. He a $3!$ formas de organización de estos bloques en el estante. El $5!*3!*2!$ es debido al orden de los libros en el interior del bloque.

3) ¿cuántas combinaciones diferentes que existen para organizar los libros de la tal que el sci fi libros están juntos, y que hay al menos 1 libro entre medio de las novelas de suspense? **Mi respuesta: no sé. Es demasiado complejo. Pensé que tal vez simplying diciendo: al menos 1 libro en entre = las combinaciones con 1 libro entre + combinaciones con 2 libros, etc, pero incluso eso no lo hace todo más sencillo...

Ayuda? :)

Answer 1

Si el sci-fi libros están juntos, los consideran un único elemento nuevo que puede ser permutada ($3!$) a veces y por lo tanto los ocho libros (con tres ser considerado un libro) 6! reordenamientos. Si hay al menos un libro en entre el suspenso, entonces hay (2!9) permutaciones donde el suspenso no están separados por un libro. Por lo tanto, tenemos $3!6!8 - 2!9$.

Answer 2

Bueno, primero de todo, vamos a ver cómo muchas maneras en que podemos poner otros libros en torno a la novela negra, ignorando distinciones entre los libros del mismo tipo. Para empezar, vamos a tener dos thrillers, con espacio entre y a cada lado:

$$\text{_T_T_}$$

Ahora, debemos poner otro libro en entre ellos. Hay dos casos a considerar aquí.

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Caso 1: no Hay sci-fi de los libros entre el suspenso.

Después de la colocación de la sci-fi-libros, nuestro acuerdo es uno de los siguientes:

$$\text{_SSS_T_T_}$$

$$\text{_T_T_SSS_}$$

En cualquier caso, se debe colocar un libro de matemáticas en entre el suspenso, por lo que nuestros arreglos posibles son:

$$\text{_SSS_T_M_T_}$$

$$\text{_T_M_T_SSS_}$$

Ahora tenemos $4$ más de libros de matemáticas para el lugar. Tenga en cuenta que si ponemos un libro de matemáticas junto a el libro de matemáticas ya hemos colocado, entonces realmente no importa de qué lado ponemos en (tan lejos como para distinguir entre estos arreglos), por lo que estos acuerdos pueden ser considerados como:

$$\text{_SSS_T_MT_}$$

$$\text{_T_MT_SSS_}$$

Cualquiera o todas de las $4$ restante de libros de matemáticas puede ser colocado en cualquiera de los restantes $4$ ranuras, por lo que hay $2\cdot 4^4$ arreglos de $3$ $\text{S}$s, $5$ $\text{M}$s, y $2$ $\text{T}$s en la que el $\text{T}$s no son consecutivos, el $\text{S}$s son consecutivos, y el %de$\text{S}$s no está entre las $\text{T}$s.

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Caso 1: Hay sci-fi de los libros entre el suspenso.

Ya que debemos de poner el sci-fi de los libros en un bloque, a continuación, nuestro acuerdo es:

$$\text{_T_SSS_T_}$$

Cualquiera o todas de las $5$ libros de matemáticas pueden ser colocados en el resto de $4$ ranuras, por lo que hay $4^5$ arreglos de $3$ $\text{S}$s, $5$ $\text{M}$s, y $2$ $\text{T}$s en la que el $\text{T}$s no son consecutivos, el $\text{S}$s son consecutivos, y el $\text{S}$s están entre las $\text{T}$s.

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Entre los dos casos, tenemos $2\cdot 4^4+4^5=1536$ arreglos de $3$ $\text{S}$s, $5$ $\text{M}$s, y $2$ $\text{T}$s en la que el $\text{T}$s no son consecutivos, pero el $\text{S}$s son consecutivos. Ahora, todo lo que queda es el fin de los libros en cada categoría. Hay $5!3!2!$ maneras de hacer esto, y así tenemos el $1536\cdot 5!3!2!$ arreglos del tipo dado.