¿Cuál es la derivada de $z^{-1}$ con respecto a $\bar{z}$ ?

Question

Hice una pregunta aquí hace unos días pero no se me contestó y, como suele ocurrirme, al intentar responderla yo mismo sólo me confundí para no entender lo que creía saber. ¿Cuál es la derivada de $z^{-1}$ con respecto a $\bar{z}$ es decir, $\frac{\partial z^{-1}}{\partial \bar{z}}$ . ¿Tiene sentido esta pregunta?

Más concretamente tengo un formulario sobre el lugar complejo sin el origen $z^{-1}dz$ y desea obtener una forma dos tomando la derivada exterior. Esta forma no es claramente cerrada por lo que debería obtener una forma dos no nula... pero ¿qué es?

Answer 1

Si $z \neq 0$ , poned $z = x+iy$ . Entonces $\frac{1}{z} = \frac{x}{x^2+y^2} -i \frac{y}{x^2+y^2}.$ Entonces, por definición $$\frac{\partial z^{-1}}{\partial \bar{z}} = \frac{1}{2} \left(\frac{\partial z^{-1}}{\partial{x}} +i \frac{\partial z^{-1}}{\partial{y}} \right).$$ Ahora, mediante cálculos sencillos se tiene $$\frac{\partial z^{-1}}{\partial{x}} = \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} +i \frac{2xy}{(x^2+y^2)^2}$$ y $$\frac{\partial z^{-1}}{\partial{y}} = \frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2}+i \frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2}.$$ Por lo tanto, $$\frac{\partial z^{-1}}{\partial \bar{z}} = 0.$$

Answer 2

Tienes (al menos) dos formas.

PRIMERO: observe que por definición $$ \frac{\partial}{\partial \bar z}:= \frac12\left(\frac{\partial}{\partial x}+i\frac{\partial}{\partial y}\right) $$ entonces exprese $z^{-1}$ con sus partes reales e imaginarias, $$ z^{-1}=\frac1z=\frac{\bar z}{z\bar z}=\frac{\bar z}{|z|^2} =\frac{x}{x^2+y^2}-i\frac y{x^2+y^2} $$

y por lo que acabo de escribir, simplemente hay que aplicar el operador $ \frac{\partial}{\partial \bar z} $ (llamado operador Wirtinger) y derivar como estás acostumbrado a hacerlo: \begin {align*} \frac { \partial }{ \partial \bar z}z^{-1} =& \frac12\left ( \frac { \partial }{ \partial x}+i \frac { \partial }{ \partial y} \right ) \left [ \frac {x}{x^2+y^2}-i \frac y{x^2+y^2} \right ] \\ =& \frac12\left [ \frac {x^2+y^2-2x^2}{(x^2+y^2)^2}+i \frac {2xy}{(x^2+y^2)^2}- i \frac {2xy}{(x^2+y^2)^2}+ \frac {x^2+y^2-2y^2}{(x^2+y^2)^2} \right ] \\ =&0 \end {align*}

SEGUNDO: hay que pensar en $\bar z$ como una nueva variable, diferente de $z$ precisamente $\bar z$ es la variable conjugada a $z$ .

Como tal, tiene que expresar $z^{-1}$ En $z$ y $\bar z$ es decir $z^{-1}=z^{-1}(z,\bar z)$ : $$ z^{-1}=\frac1z $$

en particular, es constante con respecto a $\bar z$ , derivando así clásicamente wrt el $\bar z$ se obtiene $0$ : \begin {align*} \frac { \partial }{ \partial \bar z}z^{-1} =& \frac { \partial }{ \partial \bar z} \frac1 {z}=0\;\;. \end {align*}