Demostrar que $\lim\limits_{x\to\infty} f'(x)=0$

Question

Deje $f$ ser una función en $(0,\infty)$ tal que $f'(x)$ existe. Además, $\lim\limits_{x\to \infty} f'(x)=L$ (finito) y $f(n)=0$ por cada $n \in \Bbb N$.

Demostrar que $\lim\limits_{x\to\infty} f'(x)=0$

Creo teorema de Rolle puede ayudar aquí, pero no sé cómo usarlo.

Todas las sugerencias son bienvenidas.

Gracias!

Answer 1

Sugerencia: Significa teorema del valor en $[n,n+1]$ dice que no existe un $c_n\in [n,n+1]$ tal que $$f'(c_n)=\frac{f(n+1)-f(n)}{n+1-n}=0$$ for every $n\in\mathbb N$.

Answer 2

Sugerencia: el uso de Rolles puede seleccionar una secuencia $c_n$ donde $n<c_n<n+1$ $f'(c_n)=0.$ Esto sigue desde $f(n)=f(n+1)$ (ambos son cero por su supuesto). Así que sea cual sea el límite de $f'(x)$ es decir, hay un subseqence de que la convergencia a la $0.$