Complicado de la serie de la desigualdad de la prueba por inducción con raíces cuadradas

Question

Demostrar por inducción que

$$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}<\sqrt{n}, (n\ge2)$$

Inducción de la base es correcta: $$\frac{1}{\sqrt{2}}<\sqrt{2}$$

Así que tenemos que demostrar que $$1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}<\sqrt{n+1}$$

Uno de mis intentos fue la sustitución de $1+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}$ por un número que sabemos a partir de la hipótesis de inducción a ser mayor que él, que es $\sqrt{n}$, y si se demuestra que la desigualdad sea verdadera, a continuación, vamos a comprobar la declaración inicial.

$$\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\overset{?}{<}\sqrt{n+1}$$

Y, por desgracia, la desigualdad no tiene. Lo he comprobado en Wolfram Alpha y la diferencia entre un lado de la desigualdad y la otra es realmente muy pequeña. En mi opinión, es por eso que esta desigualdad es tan difícil de demostrar (para mí, obviamente).

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Su caso base está mal. La desigualdad tiene un signo contrario. Es fácil probar por inducción una vez que se intenta demostrar lo correcto.

Answer 2

La desigualdad no es cierto: $$ 1+\frac1{\sqrt2}\simeq1.707>1.4142\simeq\sqrt2. $$ El reverso de la desigualdad puede ser demostrado por inducción, ya que estás tratando: el inductivo paso sería $$ \sqrt n+\frac1{\sqrt{n+1}}>\sqrt{n+1}. $$ Esto puede ser visto de la siguiente manera: de $n+1>n$, obtenemos $$ n(n+1)>n^2. $$ Tomando la raíz cuadrada y la adición de $1$, $$ \sqrt{n(n+1)}+1>n+1. $$ Ahora divida por $\sqrt{n+1}$: $$ \sqrt{n}+\frac1{\sqrt{n+1}}>\sqrt{n+1}. $$

Answer 3

La inducción paso es incorrecto. De hecho, la inversa de desigualdad se cumple para esta pregunta, y la prueba de eso es simple:

Inductivo caso: Para $n=1$, $1 \geq \sqrt{1}$ es cierto.

Ahora, tenga en cuenta que si $\displaystyle\sum_{i=1}^k \frac 1 {\sqrt i} \geq \sqrt{k}$ es dado, entonces tenemos: $$ \frac{1}{\sqrt{1+k}} \geq \frac {1}{\sqrt{k} + \sqrt{k+1}} \geq \sqrt{k+1}-\sqrt{k} $$

Simplemente añadir las dos desigualdades, obtenemos: $$ \displaystyle\sum_{i=1}^{k+1} \frac 1 {\sqrt i}=\displaystyle\sum_{i=1}^k \frac 1 {\sqrt i} + \frac{1}{\sqrt{k+1}}\geq \sqrt{k} + (\sqrt{k+1}-\sqrt{k}) \geq \sqrt{k+1} $$

Por lo tanto, la inversa de la desigualdad de $\displaystyle\sum_{i=1}^{k} \frac 1 {\sqrt i} \geq \sqrt{k}$$k \geq 1$, es lo que sostiene por inducción.

Answer 4

En realidad, desde el estándar de comparaciones (arriba y abajo) de las sumas e integrales en la mayoría de los libros de cálculo, $$ 2 \sqrt {n+1} - 2 \; \; < \sum_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt k} \leq \; \; 2 \sqrt n - 1. $$ The equality case on the right side holds only for $n=1.$