Generalización de la conjugación $a-b$ para $a+b$

Question

Me pregunto si hay un patrón que sigue y sigue: $$(a+b)\,(a-b) = a^2 - b^2$$ $$(a+b)\,(a+(-1/2 + i \sqrt{3}/2)b)\,(a+(-1/2 - i \sqrt{3}/2)b) = a^3 + b^3$$ $$(a+b)\,(a+i b)\,(a-b)\,(a-i b) = a^4 - b^4$$ El producto general sería el siguiente, donde $\epsilon = e^{2 i \pi/n}$ es la n-ésima raíz unitaria: $$\prod_{k=0}^{n-1}(a+\epsilon^k b) =\,?$$

Answer 1

Su problema es equivalente a encontrar las raíces de

$$p(a)=a^n-(-1)^nb^n$$

considere $b>0$ . Así, las raíces son $$-b\cdot (\text {roots of unit})$$

y una vez que puedas dividir $p(a)$ como:

$$(a-a_1)(a-a_2)...(a-a_n)$$

donde $a_i$ es una raíz de $p(a)$ entonces se consigue lo que se quiere.