¿Por qué no puedes aplicar la regla del logaritmo natural para integrar $ \int \frac {1}{ \sqrt {x}}dx$ ?

Question

Entiendo que $ \frac {1}{ \sqrt {x}} = x^{- \frac {1}{2}}$ o $ \frac {1}{x^2} = x^{-2}$ pero, ¿por qué no serías capaz de aplicar la regla para la cual $ \int \frac {1}{x}dx = \ln {|x|} + C$ y tienen, por ejemplo $ \int \frac {1}{x^2}dx = \ln {|x^2|} + C$ ?

Answer 1

Aviso:

• $$ \frac {1}{ \sqrt {x}}= \frac {1}{x^{ \frac {1}{2}}}=x^{- \frac {1}{2}}$$

Así que..:

$$ \int\frac {1}{x^n} \space\text {d}x= \int x^{-n} \space\text {d}x= \frac {x^{1-n}}{1-n}+ \text {C}$$

Set $n= \frac {1}{2}$ :

$$ \int\frac {1}{ \sqrt {x}} \space\text {d}x= \int\frac {1}{x^{ \frac {1}{2}}} \space\text {d}x= \int x^{- \frac {1}{2}} \space\text {d}x= \frac {x^{1- \left ( \frac {1}{2} \right )}}{1- \left ( \frac {1}{2} \right )}+ \text {C}=2 \sqrt {x}+ \text {C}$$

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Ahora bien, si usamos la misma regla con $n=1$ que tenemos:

$$ \int\frac {1}{x^1} \space\text {d}x= \int x^{-1} \space\text {d}x= \frac {x^{1-1}}{1-1}+ \text {C}= \frac {x^{0}}{0}+ \text {C}$$

$$ \color {red}{ \text {And we can't divide by} \space0 }$$

Y si sabemos $ \frac { \text {d}}{ \text {d}x} \ln (x)= \frac {1}{x}$ :

$$ \int\frac { \text {d}}{ \text {d}x} \ln (x) \space\text {d}x= \int\frac {1}{x} \space\text {d}x$$

Answer 2

Si lo entiendo bien, pregunta por qué, si tenemos $F'(x)=f(x)$ que no podemos tener: $$ \int g(f(x)) dx = g(F(x)) $$

Puedes ver que esto es imposible usando la regla de la cadena: $$ \frac {d}{dx}g(F(x))=g'(x)f(x) \ne g(f(x)) $$ De la misma manera puedes mostrar que

$$ \int f(g(x))dx= F(g(x)) $$ no funciona.

Answer 3

Porque eso ignora la regla de la cadena. $$ \frac d {dx} \ln (x^5) = \frac 1 {x^5} \cdot \frac d {dx} x^5 = \frac 1 {x^5} \cdot 5x^4 = \frac 5 x \ne \frac 1 {x^5}. $$

Fíjese que uno también puede hacer esto: $$ \frac d {dx} \ln (x^5) = \frac d {dx} (5 \ln x) = 5 \frac d {dx} \ln x = 5 \cdot \frac 1 x = \frac 5 x. $$ Es el derivado propuesto $ \dfrac 1 {x^5}$ Si tuvieras razón, te preguntarías por qué estos dos métodos no dan resultados idénticos.

Answer 4

Al integrar cualquier función $f(x)$ debe tener en cuenta la variable a lo largo de la cual se está integrando, en este caso $d x$ .

Por lo tanto, de acuerdo con su regla también podemos afirmar que \begin {ecuación} \int \cos x^2 d x = \sin x^2 + C \end {ecuación} ya que $ \displaystyle \int \cos x d x = \sin x + C$

Mientras sea incorrecto, debe resolver este tipo de integrales utilizando varios métodos como el cambio de variable para tener el resultado "correcto".