Prueba $\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2} \geq \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}$

Question

Si $a$ , $b$ y $c$ a $$\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2} \geq \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}$$

Información adicional:Podemos utilizar AM-GM y desigualdades de Cauchy principalmente.No se nos permite utilizar la inducción.

Cosas que he probado hasta ahora:

Usando la desigualdad de Cauchy puedo escribir: $$\left(\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\right)(a+b+c) \geq \left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)^2$$

pero no puedo continuar con esto. Lo intenté de forma expandida: $$\sum \limits_{cyc} \frac{a^5c^2}{a^2b^2c^2} \geq \sum \limits_{cyc} \frac{a^3c}{abc}$$

Lo que me lleva a este Cauchy: $$\sum \limits_{cyc} \frac{a^5c^2}{abc}\sum \limits_{cyc}a(abc)\geq \left(\sum \limits_{cyc}a^3c\right)^2$$ No puedo continuar con este también.

El principal reto es $3$ fracción en ambos lados que todos ellos tienen diferente denominator.and parece que el uso de Cauchy desde el primer paso no conduce a nada bueno.

Answer 1

Lo siguiente que puedes intentar es Cauchy de nuevo $$\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\right)(b+c+a)\geq (a+b+c)^2.$$ Así que $$\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge a+b+c.$$ Ahora puede eliminar $a+b+c$ de tu primera desigualdad.

Answer 2

Otra forma de hacerlo sería la siguiente (estoy haciendo la generalización sugerida por Liu Gang):

Tenemos que demostrar $$\frac{a^{n+1}}{b^n} + \frac{b^{n+1}}{c^n} + \frac{c^{n+1}}{a^n} - \frac{a^n}{b^{n-1}} - \frac{b^n}{c^{n-1}} - \frac{c^n}{a^{n-1}} \ge 0.$$ El lado izquierdo es igual a $$\frac{a^n(a - b)}{b^n} + \frac{b^n(b-c)}{c^n} + \frac{c^n(c-a)}{a^n},$$ por lo que basta con demostrar que $$c^n a^{2n} (a-b) + a^n b^{2n} (b-c) + b^n c^{2n} (c-a) \ge 0.$$ Como la desigualdad es cíclica, podemos suponer que o bien $a \ge b \ge c$ o $a \ge c \ge b$ .

En el primer caso tenemos $c^n a^{2n} \ge b^n c^{2n}$ y $a^n b^{2n} \ge b^n c^{2n}$ por lo que obtenemos que el LHS es $\ge b^n c^{2n} (a - b + b - c + c - a) = 0$ .

En el segundo caso tenemos $a^n b^{2n} \le c^n a^{2n}$ y $b^n c^{2n} \le c^n a^{2n}$ por lo que obtenemos que el LHS es $\ge c^n a^{2n} (a - b + b - c + c- a) = 0$ .

Esto prueba la afirmación.

Answer 3

$$\sum_{cyc}\frac{a^3}{b^2}-\sum_{cyc}\frac{a^2}{b}=\sum_{cyc}\left(\frac{a^3}{b^2}-\frac{a^2}{b}\right)=$$ $$=\sum_{cyc}\left(\frac{a^2(a-b)}{b^2}-(a-b)\right)=\sum_{cyc}\frac{(a-b)^2(a+b)}{b^2}\geq0.$$ ¡Hecho!

Answer 4

Por AM-GM, tenemos $$14\frac{a^3}{b^2}+3\frac{b^3}{c^2}+2\frac{c^3}{a^2}\geq 19\frac{a^2}{b}\quad (1)$$ $$2\frac{a^3}{b^2}+14\frac{b^3}{c^2}+3\frac{c^3}{a^2}\geq 19\frac{b^2}{c}\quad (2)$$ $$3\frac{a^3}{b^2}+2\frac{b^3}{c^2}+14\frac{c^3}{a^2}\geq 19\frac{c^2}{a}\quad (3)$$ Suma las tres ecuaciones y concluye.

Answer 5

Por AM-GM, tenemos:

$$\frac{a^3}{b^2} + a\ge \frac{2a^2}{b}\Rightarrow \frac{a^3}{b^2}\geq \frac{2a^2}{b} -a$$

Similares: $$\frac{b^3}{c^2}\geq \frac{2b^2}{c} -b$$

$$\frac{c^3}{a^2}\geq \frac{2c^2}{a} -c$$

Ahora sumándolos y usando C-S, tenemos:

$$\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2} + \frac{c^3}{a^2}$$

$$\geq (\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})+(\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}) - (a+b+c)$$

$$\geq (\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a})+\frac{(a+b+c)^2}{a+b+c} - (a+b+c)$$

$$= \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}$$

La igualdad se cumple cuando $a=b=c$

P.D: No creo que sea una buena solución :(