Fracciones parciales - resultados diferentes cuando se hace por pasos que cuando no se hace

Question

Lo tenemos: $\frac 1 {(1-x)(1+x)(1-2x)}$

Si hago las fracciones parciales directamente: $\frac 1 {(1-x)(1+x)(1-2x)}= \frac a {1-x} + \frac b {1+x} + \frac c {1-2x}$

Lo entiendo: $a=-\frac 12, b = \frac 1 6, c=\frac 4 3$ .

Pero cuando lo hago por pasos, es decir $\frac 1 {(1-x^2)(1-2x)}=\frac a {1-x^2} + \frac b {1-2x}$

Lo entiendo: $a=2, b=-1$ y de nuevo fracciones parciales: $\frac 2 {1-x^2}=\frac a {1-x} + \frac b {1+x}$ Consigue: $a=1, b=-1$

En el primer método obtuve: $\frac {-\frac 12} {1-x} + \frac {\frac 1 6} {1+x} + \frac {\frac 4 3} {1-2x}$

Pero por pasos: $\frac {1} {1-x} - \frac {1} {1+x} - \frac {1} {1-2x}$

¿Cómo es posible? ¿No deberían ser iguales?

Answer 1

$\frac 1 {(1-x^2)(1-2x)}\ne\frac a {1-x^2} + \frac b {1-2x}$

$\frac 1 {(1-x^2)(1-2x)}=\frac {a+bx} {1-x^2} + \frac c {1-2x}$

Uno encuentra que $a=-1/3$ , $b=-2/3$ y $c=4/3$ .