$f:[a,b] \to R$ es continua y $\int_a^b{f(x)g(x)dx}=0$ para toda función continua $g:[a,b]\to R$

Question

$f:[a,b] \to R$ es continua y $\int_a^b{f(x)g(x)dx}=0$ para toda función continua $g:[a,b]\to R$ con $g(a)=g(b)=0$ . Debe $f$ se desvanecen de forma idéntica?

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Usando la integración por partes obtuve la forma $\int_a^bg(x)f(x)-g'(x)F(x)=0$ . Donde $F'(x)=f(x)$ .

Answer 1

En particular, poner $g(x)=(x-a)(b-x)f(x)$ tenemos $\int_a^b{(x-a)(b-x)f(x)^2dx}=0$ . El integrando es no negativo en $[a,b]$ Así que $f = 0$ casi en todas partes. Como $f$ es continua, $f$ debe ser idéntico a cero.

Answer 2

Supongamos que $f(x_0)>0$ para algunos $x_0\in(a,b)$ . Entonces existe $\delta>0$ tal que, para $|x-x_0|<\delta$ , $f(x)>k>0$ (toma $k=f(x_0)/2$ por ejemplo), con $(x_0-\delta,x_0+\delta)\subseteq(a,b)$ .

Ahora construye una función $g$ decretando que $$ g(x)=\begin{cases} 0 & \text{if $a\le x< x_0-\delta$}\\[3px] ? & \text{if $x_0-\delta\le x<x_0-\delta/2$}\\[3px] 1 & \text{if $x_0-\delta/2\le x\le x_0+\delta/2$}\\[3px] ? & \text{if $x_0+\delta/2<x\le x_0+\delta$}\\[3px] 0 & \text{if $x_0+\delta<x\le b$} \end{cases} $$ donde $?$ representa los valores del segmento que hace que la función continúe en los dos intervalos (puedes calcular fácilmente la fórmula).

Entonces $f(x)g(x)=0$ fuera de $(x_0-\delta,x_0+\delta)$ no negativo en este intervalo y estrictamente positivo en $[x_0-\delta/2,x_0+\delta/2]$ Así que $$ \int_{a}^b f(x)g(x)\,dx>0 $$

Answer 3

Supongamos que existe $x_0$ que $f(x_0)=\varepsilon \neq 0$ podemos suponer que $\varepsilon>0$ sin perder la generalidad. $f$ es continua, por lo que existe $\delta$ tal que para $x_1 \in (x_0-\delta,x_0+\delta) \subset (a,b)$ tenemos $f(x_1) > \frac{\varepsilon}{2}$ . Ahora puedes encontrar una función de este tipo $g$ que $g(x_2)>1$ para $x_2 \in (x_0-\frac{\delta}{2},x_0+\frac{\delta}{2})$ et $g(x) \geq 0$ (por ejemplo, lineal a trozos), entonces tienes:

$$\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx \geq \int_{x_0-\frac{\delta}{2}}^{x_0+\frac{\delta}{2}}f(x)g(x)dx \geq 1 \cdot 2\delta \cdot \frac{\varepsilon}{2}=\delta \varepsilon>0$$

Answer 4

Por el Teorema de Stone Weierstrass, podemos demostrar que si $f$ es una función continua en $[a,b]$ et $$\forall n \in \Bbb N:\ \int_a^b f(x)x^ndx=0$$ entonces $f=0$

Dado que sólo podemos utilizar funciones que desaparecen en $a$ et $b$ entonces tenemos $$\forall n \in \Bbb N:\ \int_a^b f(x)(x-a)(b-x)x^ndx=0$$ Así que $x\rightarrow f(x)(x-a)(b-x) = 0$

Así que para $x\neq a,b$ $f(x)=0$

Por continuidad, $f=0$

Answer 5

Supongamos que para algunos $x_0\in(a,b)$ tenemos $f(x_0)>0$ . Desde $f$ se supone que es continua, esto significa que hay un $\epsilon>0$ tal que $f(x)>0$ en $(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon)$ . Ahora dejemos que $$g(x)=\begin{cases} 0 & x\notin(x_0-\epsilon,x_0+\epsilon)\\ x-x_0+\epsilon & x_0-\epsilon \le x \le x_0\\ x_0-x+\epsilon & x_0 < x \le x_0+\epsilon \end{cases}$$ Es fácil ver que $g(x)$ es continua. Ahora $f(x)g(x)>0$ para $x_0-\epsilon < x < x_0+\epsilon$ et $=0$ de lo contrario. Por lo tanto, claramente $\int_a^b f(x)g(x)\,\mathrm dx > 0$ en contradicción con la afirmación de que esta integral desaparece para toda continua $g(x)$ .

Con un argumento análogo también obtenemos que $f(x_0)<0$ no es posible.

Así, hemos demostrado que $f(x)=0$ por cada $x\in (a,b)$ . Sin embargo, desde $x$ es continua, se deduce que también $f(a)=f(b)=0$ .