Son dos conjuntos de Cantor ; "Grasa" y "Estándar" Diffeomorphic el uno al Otro?

Question

Todos: Sé que cualquiera de los dos conjuntos de Cantor; "grasa" , y "Estándar"(en la mitad de la tercera) son homeomórficos el uno al otro. Aún así, son diffeomorphic el uno al otro? Yo creo que sí, ya que ambos son $0$-dimensiones de los colectores (###), y cualquiera de los dos $0$-dimensiones de los colectores son diffeomorphic el uno al otro. Aún así, vi a un argumento en algún lugar donde la demanda es que los dos no son diffeomorphic.

El argumento es a lo largo de las líneas que, por $C$ la función característica de la norma conjunto de Cantor se integra a $0$ , ya que el $C$ (Lebesgue) medida cero, pero , si $g$ donde un diffeomorphism en una grasa conjunto de Cantor $C'$, entonces: $ f(g(x))$ es la función de indicador de $C'$, por lo que su integral es positivo.

Y (mis disculpas, no recuerdo el Tex integral y no tengo los puntos suficientes para mirar a otra persona de edición ; si alguien pudiera por favor, hágamelo saber )

Por la regla de la cadena, el cambio de variable $\int_0^1 f(g(x))g'(x)dx$ debe ser igual a $\int_a^b f(x)dx$ pero $g'(x)>0$$f(g(x))>0$ . Así que el cambio de variable en contradicción con la hipótesis de la existencia de la diffeomorphism $g$$C$$C'$.

Esto es correcto?

(###)EDIT: me di cuenta de que después de la publicación --simultáneamente con "Perdidos en Matemáticas"* , que el Cantor de los conjuntos {C} no 0-dimensional colectores (para una cosa, C no tiene puntos aislados). El problema, entonces, se convierte, como alguien ha escrito en los comentarios, una de decidir si existe un mapa diferenciable $f:[0,1]\rightarrow [0,1]$ tomando C a C' con inversa diferenciable.

• Quiero decir, que no es, ¿verdad?

Answer 1

Estoy bastante seguro de que la dimensión de Hausdorff es un diffeomorphism invariante. Hausdorff medida por supuesto no lo es. La idea básica es que si usted tiene una bola de radio $r$ y un diffeomorphism la imagen de la bola de radio $r$ contiene una bola de radio $Mr$ donde $M$ es el máximo de la norma de $(f^{-1})'$. Además, la imagen de la pelota está contenida en una bola de radio $Nr$ donde $N$ es el máximo de la norma de $f'$. Básicamente, usted sólo tiene que preocuparse acerca de cómo diffeomorphisms distorsionar el radio de las bolas (arriba a la inclusión). Diffeomorphisms hacerlo en un domar a la moda, siempre que, al menos,$C^1$.

Así que, a pesar de todos los conjuntos de Cantor son homeomórficos, hasta diffeomorphism tiene , al menos, la dimensión de Hausdorff que la separa de ellos-creo que probablemente hay muchos más invariantes pero no he dado mucho pensamiento.

De manera más general, dado un homeomorphism entre dos espacios métricos $f : X \to Y$ que es bi-lipschitz,

$$d(f(x),f(y)) \leq Md(x,y)$$

y

$$d(f^{-1}(x),f^{-1}(y)) \leq Nd(x,y)$$

donde $N,M > 0$, la dimensión de Hausdorff de $A \subset X$ es igual a la dimensión de Hausdorff de $f(A)$.

Un diffeomorphism tiene la propiedad de que la bi-lipschitz con $M = max ||f'||$$N = max ||(f^{-1})'||$.

Answer 2

Yo creo que he encontrado una respuesta a mi pregunta, coincidiendo con la idea de Ryan, el último párrafo: la absoluta continuidad de la toma de conjuntos de medida cero a los conjuntos de medida cero. Un diffeomorphism definida en [0,1] es Lipshitz continua, ya que tiene un almacén de primera derivada (por la continuidad de f' y la compacidad de [0,1]), de modo que es absolutamente continua, por lo que se necesitaría de conjuntos de medida cero a los conjuntos de medida cero.