Serie Maclaurin para $e^z /\cos z$ .

Question

Quiero encontrar la serie Maclaurin para la función

$$f(z)=\frac{e^z}{\cos z}.$$

De inmediato puedo decir que el radio de convergencia será $\pi/2$ ya que es la distancia a la singularidad más cercana (no sé si esta explicación es lo suficientemente rigurosa, pero no se me ocurre otra cosa). Calculando los coeficientes como n'ª derivada en $0$ me parece infructuoso aquí, así que supongo que tengo que recurrir a los trucos. Por supuesto, podría dividir la serie formalmente, pero eso no me da una fórmula explícita para el coeficiente $a_n$ .

He intentado reescribir el coseno como una exponencial, pero eso tampoco produce nada de interés. Estoy buscando una pista para empezar.

Answer 1

$\newcommand{\angles}[1]{\left\langle #1 \right\rangle}% \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace #1 \right\rbrace}% \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack #1 \right\rbrack}% \newcommand{\dd}{{\rm d}}% \newcommand{\isdiv}{\,\left.\right\vert\,}% \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}}% \newcommand{\equalby}[1]{{#1 \atop {= \atop \vphantom{\huge A}}}}% \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,}% \newcommand{\floor}[1]{\,\left\lfloor #1 \right\rfloor\,}% \newcommand{\ic}{{\rm i}}% \newcommand{\imp}{\Longrightarrow}% \newcommand{\pars}[1]{\left( #1 \right)}% \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\pp}{{\cal P}}% \newcommand{\sgn}{\,{\rm sgn}}% \newcommand{\ul}[1]{\underline{#1}}% \newcommand{\verts}[1]{\left\vert #1 \right\vert}% \newcommand{\yy}{\Longleftrightarrow}$

$$ \expo{z} = \sum_{k = 0}^{\infty}{z^{k} \over k!} \quad \left\vert% \begin{array}{rcl} \qquad\sec\pars{z} & = & \sum_{k = 0}^{\infty}{\verts{E_{2k}} \over \pars{2k}!}z^{2k} \\ \verts{z} & < & {\pi \over 2} \\[2mm] &&E_{\nu}\ \mbox{is an}\ {\it\mbox{Euler Number}}. \end{array}\right. $$

\begin{align} &\vphantom{\Huge A^{A}} \\ {\expo{z} \over \cos\pars{z}} &= \expo{z}\sec\pars{z} = \sum_{k = 0}^{\infty}\sum_{k' = 0}^{\infty}{z^{k} \over k!}\, {\verts{E_{2k'}} \over \pars{2k'}!}z^{2k'} = \sum_{k = 0}^{\infty}\sum_{k' = 0}^{\infty}{z^{k} \over k!}\, {\verts{E_{2k'}} \over \pars{2k'}!} \sum_{n = 0}^{\infty}z^{n - k}\,\delta_{n,k + 2k'} \\[3mm]&= \sum_{n = 0}^{\infty}z^{n} \sum_{k' = 0 \atop {\vphantom{\LARGE A}n - 2k' \geq 0}}^{\infty} {1 \over \pars{n - 2k'}!}\, {\verts{E_{2k'}} \over \pars{2k'}!} \end{align}

$${\large% {\expo{z} \over \cos\pars{z}} = \sum_{n = 0}^{\infty}A_{n}\,z^{n}\,, \qquad\qquad A_{n} \equiv \sum_{k = 0}^{\floor{n/2} \atop } {\verts{E_{2k}} \over \pars{2k}!\pars{n - 2k}!}} $$