Condicionalmente convergente integral

Question

Se sabe que en un condicionalmente convergente la serie, los términos pueden ser reorganizadas así como de salida de cualquier valor deseado. Por lo tanto, un condicionalmente convergente la serie se dice que ser indefinido.

Mi pregunta es la siguiente integral: $\int\limits_{ - \infty }^\infty {{{\sin \left( x \right)} \over x}dx}$

Se sabe que esta integral es condicionalmente convergente: converge, pero no absolutamente.

Se puede decir que si ${a_n}\buildrel {n \to \infty } \over \longrightarrow \infty$ and ${b_n}\buildrel {n \to \infty } \over \longrightarrow - \infty$ que el valor de $$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \int\limits_{{b_n}}^{{a_n}} {{{\sin \left( x \right)} \over x}dx}$$ depende de la elección de las secuencias de ${a_n},{b_n}$ ?

He experimentado un poco en wolfram alpha, pero no importa lo que he probado, el resultado fue $\pi$.

Me acuerdo de la audiencia y, de hecho, he leído también aquí:

Hay un reordenamiento del teorema de condicionalmente convergente de las integrales impropias?

Que el valor de la condicionalmente convergente la integral depende de la reorganización.

Answer 1

El límite es de $\pi$ , independientemente de cuál de las secuencias. Es un estándar de hecho de que $\lim _{t\to \infty}\int_0^{t} \frac {\sin \, x} x \, dx=\pi/2$ a partir de que mi reclamación de la siguiente manera.