¿Es$\aleph_0$ el número cardinal infinito mínimo en$ZF$?

Question

$\aleph_0$ es el número cardinal menos infinito en ZFC. Sin embargo, sin AC, no todos los conjuntos están bien ordenados.

Entonces, ¿es consistente que un conjunto es infinito pero no$\ge \aleph_0$? En otras palabras, ¿es posible que exista un conjunto infinito$A$ con el número de registro$h(A)=\aleph_0$?

Answer 1

Sí. Es consistente tener tales conjuntos. Estos conjuntos se denominan conjuntos Dedekind-finitos.

Tenga en cuenta que$\aleph_0$ es el único cardinal infinito mínimo, incluso si no es el mínimo.