¿Existe un espacio métrico no compacto $X$ tal que , cualquier función continua de $X$ a cualquier espacio de Hausdorff es un mapa cerrado?

Question

Sé que hay un espacio topológico $X$ que no es compacto pero que es tal que , para cualquier espacio topológico de Hausdorff $Y$ cualquier función continua $f:X \to Y$ lleva conjuntos cerrados a conjuntos cerrados . Me gustaría preguntar, ¿Existe algún espacio métrico no compacto $X$ tal que , para cualquier espacio topológico de Hausdorff $Y$ cualquier función continua $f:X \to Y$ lleva conjuntos cerrados a conjuntos cerrados ?

Answer 1

Tenemos el siguiente resultado en Topología de Conjuntos:

Hélice. Dejemos que $X$ sea un espacio con las dos propiedades que:
(i) cada punto tiene una base de vecindades cerradas ( $X$ es regular ), y
(ii) toda imagen continua de la misma en un espacio de Hausdorff es cerrada.
Entonces $X$ es compacto.

Prueba. Supongamos que primero $X$ es Hausdorff (el caso de los espacios métricos). Sea $\{U_i\}$ una tapa abierta de $X$ . Por (i), cada $x\in X$ tiene un barrio abierto $V^x$ con $\overline{V^x}\subset U_{i(x)}$ . Definir un espacio de Hausdorff à la Alexandroff: $X^*=X\cup\{\omega\}$ añadiendo a la topología de $X$ la nbdhs abierta para $\omega$ : $$ U^\omega=X^*\setminus\bigcup_{\text{finite}}\overline{V^x}. $$ Entonces $X^*$ es Hausdorff y por (ii) $X$ está cerrado en $X^*$ . Así, $\omega$ está abierto, es decir $$ \{\omega\}=X^*\setminus\bigcup_{\text{finite}}\overline{V^x}, \quad \text{so that} \quad X=\bigcup_{\text{finite}}\overline{V^x}\subset\bigcup_{\text{finite}}U_{i(x)}. $$ Esto completa el argumento en el caso compacto.

En el caso general, esta pista: identificar puntos en $X$ que no pueden separarse en este sentido: $x\equiv y$ si cada vecindad de $x$ contiene $y$ y cada nbhd de $y$ contiene $x$ . El cociente $\widetilde X$ es Hausdorff y todos los conjuntos abiertos están saturados. Entonces podemos construir $\widetilde X^*$ para concluir. $\ \square$

En nuestro caso, $X$ es métrica, por tanto Hausdorff y regular, y (ii) es más débil que todo mapeo continuo en un espacio Hausdorff es cerrado . Por lo tanto, la respuesta a su pregunta es no, no existe tal espacio métrico .